Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9873
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 22, 2017 6:59 pm

Ένας Ρουμάνος φίλος μου έστειλε την ακόλουθη άσκηση.
Είναι χαριτωμένη και όχι πολύ δύσκολη. Κάνει και για Δημοτικό.

Στον πίνακα είναι γραμμένοι με την σειρά οι αριθμοί 1 έως 100,

 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, ... \, ,  \, 98, \, 99, \, 100

Ο παίκτες A και B τοποθετούν εναλλάξ στα 99 ενδιάμεσα κενά είτε ένα + είτε
ένα \times. Στο τέλος υπολογίζουν την τιμή της αλγεβρικής παράστασης που προκύπτει.

Αν το αποτέλεσμα είναι περιττός αριθμός, κερδίζει ο A. Αλλιώς κερδίζει ο B.

Ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης;



Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 697
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Δεκ 22, 2017 9:13 pm

Kαλησπέρα . Ωραίο πρόβλημα !
Νομίζω ότι η στρατηγική Νίκης ανήκει στον παίκτη B. Στην τελευταία του επέμβαση μπορεί να προσθέσει το 99 ή να πολ/σει με αυτό .
Αν το μέχρι τότε αποτέλεσμα είναι μονός προσθέτει , αν είναι ζυγός πολλαπλασιάζει .

Σε κάθε περίπτωση το κάνει ζυγό και ...αφοπλίζει τον A : Είτε προσθέσει , είτε πολ/σει με το 100 το αποτέλεσμα παραμένει άρτιος !

Το πλεονέκτημα του B (παρόλο που την πρώτη και τελευταία επέμβαση την έχει ο A) είναι ότι χειρίζεται τους μονούς που μόνο αυτοί , ανάλογα με την πράξη ρυθμίζουν το αποτέλεσμα σε μονό ή ζυγό .. κάτι που αδυνατούν οι ζυγοί .

Θα μπορούσε μάλιστα να χαρίσει όλες τις τοποθετήσεις του στον A, πλην της τελευταίας του (να χειριστεί μόνο το 99)..
αλλά αυτό .. :) .. μάλλον αποκαλύπτει τον γρίφο !

Φιλικά Γιώργος .


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9873
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 22, 2017 10:03 pm

Γιώργο, σωστή η στρατηγική αν θεωρήσουμε ότι τα + και \times μπαίνουν στους αριθμούς με την σειρά (πρώτα μεταξύ 1 και 2, μετά μεταξύ 2 και 3, και λοιπά).

Όμως η εκφώνηση δεν λέει αυτό. Τα + και \times μπαίνουν οπουδήποτε θελήσουμε. Ανάκατα.

Ίσως δεν το διευκρίνισα αλλά νομίζω ότι εξυπακούεται.

Όπως και να είναι, ας το δούμε εκ νέου. Σωστή και ωραία η παραπάνω λύση για την περίπτωση που έχουμε τα + και \times σε επόμενο κενό κάθε φορά, αλλά τώρα κάνω το πρόβλημα πιο σύνθετο. Τουλάχιστον έτσι το έλυσα για τον Ρουμάνο που μου ζήτησε λύση.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 697
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Δεκ 23, 2017 4:11 am

Σωστά κ. Μιχάλη , τα σύμβολα μπορούν να μπουν μπρος πίσω .. ανάκατα.
Με επιφύλαξη νομίζω πως τώρα ο A έχει την νίκη στο ..μυαλό του .
Πρώτα πρέπει να γράψει 99+100 γιατί αλλιώς έχασε ! Στη συνέχεια έστω \mu κάθε μονός και \zeta κάθε ζυγός.
Θεωρούμε τις διαδοχικές τριάδες \mu ..\zeta ..\mu ,στο πλήθος 49 όπου 1..2..3 η πρώτη 3..4..5 η δεύτερη και 97..98..99 η τελευταία .

Ο A παίζει μετά τον B και φροντίζει κάθε μια από τις εν λόγω τριάδες να συμπληρωθεί \mu \times \zeta +\mu ή \mu + \zeta \times \mu
δηλ στην ίδια τριάδα βάζει (ως δεύτερος) διαφορετικό σύμβολο ώστε η τριάδα να δίνει πάντα μονό
που παίρνει τη θέση του πρώτου \mu στην επόμενη τριάδα .
Με τη συμπλήρωση όλων των τριάδων προκύπτει μονός οπότε \mu+100 τελικά μονός και ο A κερδίζει (αν βέβαια είναι σωστό το σκεπτικό..)

Y.Γ Υπάρχει βεβαίως λάθος και ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη για την επισήμανση στην επόμενη δημοσίευση.
Οφείλεται σε σοβαρή από μέρους μου παρανόηση .
Θεώρησα (εσφαλμένα) ότι οι πράξεις γίνονται όποια συναντάμε πρώτη από αριστερά ,
όπως αν πούμε στον μαθητή :Στο 1 πρόσθεσε 2 και στην συνέχεια (αφού το κάνει) πολλαπλασίασε με το 3 δηλ (1+2)\times 3..
Όμως εδώ δεν υπάρχουν παρενθέσεις και ο πολ/μός παίρνει την προτεραιότητα..

Ας περιγράψω σε γενικές γραμμές μια νέα προσπάθεια. Έστω m κάθε μονός και z κάθε ζυγός. Ο A γράφει 99+100

και στην συνέχεια όπου ο B εμφανίσει π.χ m\times z τότε ο A το συμπληρώνει σε z\times m\times z -που όλον μαζί τον θεωρούμε ως ζυγό z'

ή σε m\times z+m που προσωρινά γίνεται μονός m' . Ομοίως το z\times m το κάνει m + z\times m ή z\times m\times z.

Επιδίωξη του, πριν την τελευταία σύνδεση που ανήκει στον ίδιο να έχει απ' τη μία τουλάχιστον πλευρά μονό αριθμό.

Φιλικά Γιώργος
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Κυρ Δεκ 24, 2017 1:59 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9873
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 23, 2017 10:06 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Δεκ 23, 2017 4:11 am
Με επιφύλαξη ...

Ο A παίζει μετά τον B και φροντίζει κάθε μια από τις εν λόγω τριάδες να συμπληρωθεί \mu \times \zeta +\mu ή \mu + \zeta \times \mu
Γιώργο, σωστή η κεντρική ιδέα αλλά υπάρχει λάθος στο βήμα που σημείωσα. Όπως το έχεις είναι σαν να θεωρείς ότι για κάθε τριάδα
\mu  .  \zeta .\mu στο τέλος αθροίζουμε ένα από τα \mu + \zeta \times \mu ή \mu \times \zeta +\mu . Δεν είναι όμως έτσι γιατί τα +, \times επειρεάζουν και την προηγούμενη/επόμενη τριάδα στην τελική πρόσθεση. Για παράδειγμα αν ο B βάλει τα δύο "επί" στην πεντάδα \mu_1  .  \zeta_2 .\mu_3 .  \zeta_4.\mu_5 , δηλαδή έχουμε \mu_1 + \zeta_2 \times \mu_3 \times \zeta _4+\mu _5 , στον συλλογισμό σου φαίνεται να το λογίζεις ως [\mu_1 + (\zeta_2 \times \mu_3)] + [(\mu_3 \times \zeta _4)+\mu _5]. Όμως το σωστό είναι βέβαια ...\mu_1 + ( \zeta_2 \times \mu_3 \times \zeta _4)+\mu _5... ή χειρότερο (εξαρτάται από το τι υπάρχει στις "...", δηλαδή τα \mu_1, \mu_5 δεν ξέρουμε αν θα προστεθούν ως μονοί ή ζυγοί).

Θα βάλω λύση αν χρειαστεί.

Επαναλαμβάνω, η κεντρικιή ιδέα είναι σωστή, αλλά η αιτιολόγιση νομίζω ότι έχει κενό. Η αιτιολόγιση που έχω κατά νου είναι απλούστερη.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7572
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Δεκ 23, 2017 10:55 am

Ξεκινώ βάζοντας ένα + μεταξύ του 50 και του 51.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9873
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 23, 2017 11:32 am

Demetres έγραψε:
Σάβ Δεκ 23, 2017 10:55 am
Ξεκινώ βάζοντας ένα + μεταξύ του 50 και του 51.
Δημήτρη, είμαι βέβαιος ότι κατάλαβα την στρατηγική νίκης (του A) που εννοείς. Καλόόόό.

Κατόπιν o A επαναλαμβάνει μετατωπισμένες τις κινήσεις του B

H στρατηγική νίκης που έχω κατά νου είναι διαφορετική, στο μήκος κύματος αυτού που γράφει ο Γιώργος. Είναι
επίσης λιτή.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1308
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Κυρ Δεκ 24, 2017 11:59 pm

Βρήκα πολύ διασκεδαστικό το πρόβλημα που έθεσε ο Μιχάλης.
Θέτω στην κρίση όλων τον τρόπο που περιγράφω την στρατηγική νίκης του Α.

Επιλύουμε το ίδιο πρόβλημα σε μικρότερο πλήθος διαδοχικών φυσικών για να «βλέπουμε» άμεσα τα αποτελέσματα,
(συμβουλή G. Polya από το βιβλίο του «Πώς να το λύσω»).
Επιλέγω τους 12 πρώτους διαδοχικούς φυσικούς (άρτιο πλήθος για λόγο που θα γίνει κατανοητός στη συνέχεια).
Μεταξύ των 12 αυτών αριθμών υπάρχουν 11 κενά. Άρα, πρέπει να τοποθετηθούν 11 σύμβολα + ή x.
Επειδή παίζει πρώτος ο Α, αυτός θα τοποθετήσει 6 σύμβολα και ο αντίπαλος του, ο Β, θα τοποθετήσει 5 σύμβολα.
Προφανώς, αν μεταξύ των κενών τοποθετηθούν μόνο σύμβολα + ή μόνο σύμβολα x,
τότε το αποτέλεσμα είναι αριθμός άρτιος. Αυτή είναι τακτική που δεν ευνοεί τον Α.
Για να κερδίσει ο Α που έχει την πρώτη κίνηση θα πρέπει με την τελευταία του κίνηση
να υπάρχει ένας περιττός αριθμός και το άθροισμα όλων των άλλων (που έχουν προκύψει από συνδυασμούς συμβόλων) να είναι άρτιο.
Για τον λόγο αυτό ο Α ως πρώτη κίνηση τοποθετεί + μεταξύ 1 και 2. Σκοπός του είναι να διατηρήσει έναν περιττό αριθμό.
Έχουμε τώρα 5 κινήσεις του Β και άλλες 5 του Α. Αυτές θα καλύψουν τα 10 κενά.
Στην ακολουθία των αριθμών έχουμε τώρα 5 περιττούς αριθμούς τους 3, 5, 7, 9, 11.
Ότι σύμβολο και να τοποθετήσει ο Β μεταξύ αυτών των πέντε περιττών αριθμών,
ο Α θα τοποθετεί το x στην αντίθετη πλευρά του ίδιου περιττού αριθμού ώστε να προκύπτει από το γινόμενο αριθμός άρτιος.
Έτσι, θα έχουμε αθροίσματα από άρτιους αριθμούς και έναν περιττό αριθμό το 1.
Συνεπώς, με την τακτική αυτή ο Α τελικά δημιουργεί ένα άθροισμα που είναι αριθμός περιττός. Άρα, ο Α κερδίζει.

Την ίδια τακτική μπορεί να εφαρμόσει για τους διαδοχικούς φυσικούς από το 1 έως και το 100.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9873
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 25, 2017 12:00 pm

Ανδρέα, σωστά (και Χρόνια Πολλά στην Χριστίνα σου που γιορτάζει σήμερα).

Αυτή την στρατηγική είχα κατά νου. Ας την γράψω με δικά μου λόγια, για όφελος των μαθητών.

Πρώτα ο A τοποθετεί ένα + μεταξύ των 1 και 2. Μετά σε κάθε τριάδα ζυγός-μονός-ζυγός στην οποία τοποθετεί ένα σύμβολο ο B, ο A απαντά με ένα \times στην κενή θέση. Έτσι πρώτον η τριάδα αυτή δεν θα ξεναχρησιμοποιηθεί και δεύτερον ο μονός αριθμός ζευγαρώθηκε πολλαπλασιαστικά με ζυγό. Άρα στο τέλος η απάντηση είναι "1 συν άθροισμα ζυγών" που είναι βέβαια μονός. Κερδιζει ο A.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1308
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Παιχνίδι στρατηγικής με μονά ζυγά

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Δεκ 25, 2017 1:55 pm

Νομίζω ότι αυτή τακτική του Α πετυχαίνει για κάθε άρτιο πλήθος διαδοχικών φυσικών.
Να δώσουμε ένα "παρεμφερές" πρόβλημα.

Αν το πλήθος των διαδοχικών φυσικών είναι περιττό, υπάρχει τακτική επιτυχίας για τον Α;

Καλά Χριτούγεννα σε όλους και επιπλέον ευχές σε όσους έχουν ονομαστική εορτή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης