Νέος άνω των 20

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Νέος άνω των 20

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 02, 2018 12:03 pm

Δείξτε - χωρίς απολύτως καμία βοήθεια - ότι : \displaystyle\int_{0}^{5}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx>20

Δείξτε - με βοήθεια - ότι για k>m>0 : \displaystyle\int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx\geq k\cdot m
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τρί Ιαν 02, 2018 1:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 58
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Νέος άνω των 20

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιαν 02, 2018 12:21 pm

Έχει ονομασία αυτή η ανισότητα (οι ψυχολόγοι την γνωρίζουν καλά :) ).


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9873
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Νέος άνω των 20

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 02, 2018 3:27 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 02, 2018 12:03 pm
Δείξτε - χωρίς απολύτως καμία βοήθεια - ότι : \displaystyle\int_{0}^{5}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx>20

Δείξτε - με βοήθεια - ότι για k>m>0 : \displaystyle\int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx\geq k\cdot m
To πρώτο είναι ειδική περίπτωση του δευτέρου, οπότε ας δούμε το δεύτερο. Η υπόθεση k>m περιττεύει. Μας αρκεί η k,m >0.

\displaystyle{ \int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx  = \frac{3}{5} k^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} m^{\frac{5}{2}}=

\displaystyle {=\frac{1}{5} (k^{\frac{5}{3}}+ k^{\frac{5}{3}}+k^{\frac{5}{3}} + m^{\frac{2}{5}}+m^{\frac{5}{2}}  )  \ge \sqrt [5] {k^{\frac{5}{3}} k^{\frac{5}{3}}k^{\frac{5}{3}}  m^{\frac{5}{2}}m^{\frac{5}{2}}}= km


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7572
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Νέος άνω των 20

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιαν 03, 2018 12:54 pm

Δείτε και εδώ.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Νέος άνω των 20

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 05, 2018 8:33 am

Αξίζει καμιά φορά να αναφέρει κανείς τον τρόπο δημιουργίας μιας άσκησης . Ας τη δούμε :

Η άσκηση φυσικά έχει αφετηρία την ανισότητα Young : "Αν οι θετικοί p,q ικανοποιούν τη σχέση :

\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 , τότε για τους μη αρνητικούς a,b , ισχύει : \dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab " .

Επειδή \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1 , παίρνω για p=\dfrac{5}{3} και q=\dfrac{5}{2} την : \dfrac{a^{\dfrac{5}{3}}}{\dfrac{5}{3}}+\dfrac{b^{\dfrac{5}{2}}}{\dfrac{5}{2}}\geq ab .

Βλέποντας τα κλάσματα , το μυαλό πάει στο πονηρό : Μα αυτά είναι γνωστά ολοκληρώματα !

Έτσι η άσκηση ( νόμιζα ότι ) έγινε αρκετά δυσκολότερη . Τότε δεν είχα συνδέσει το θέμα

με την εκδοχή της ανισότητας , όπου χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της αντίστροφης ...
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Ιαν 02, 2018 3:27 pm
KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 02, 2018 12:03 pm

Δείξτε ότι για k>m>0 : \displaystyle\int_{0}^{k}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{m}x^{\frac{3}{2}}dx\geq k\cdot m
Η υπόθεση k>m περιττεύει .
Ας δώσω και μιαν εξήγηση γιατί στην εκφώνηση , προέβλεψα : k>m . Δείτε το ερώτημα α)

 \displaystyle\int_{0}^{5}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx\simeq 21.574>20 και

 \displaystyle\int_{0}^{4}x^{\frac{2}{3}}dx +\int_{0}^{5}x^{\frac{3}{2}}dx\simeq 28.408>>20 ,

δηλαδή η ανισότητα "ξεχειλώνει" , πράγμα όχι ιδιαίτερα ευχάριστο !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης