Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9377
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 25, 2018 8:25 pm

Διαγωνισμός  πρωτοτυπίας.png
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία A(0,6) , B(b,0) και C(3,0) .

Φέρουμε τα ύψη BD ,CE και παρατηρούμε ότι : \widehat{EOD}=90^0 . Βρείτε το b .

Όλες οι λύσεις κερδίζουν από ένα καρλάβι , το κύπελλο όμως η πλέον πρωτότυπη :byebye:



Λέξεις Κλειδιά:
Anastasas Panagiotis
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 25, 2018 10:37 pm

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Anastasas Panagiotis » Παρ Ιαν 26, 2018 12:32 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 25, 2018 8:25 pm
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία A(0,6) , B(b,0) και C(3,0) .

Φέρουμε τα ύψη BD ,CE και παρατηρούμε ότι : \widehat{EOD}=90^0 . Βρείτε το b .

Όλες οι λύσεις κερδίζουν από ένα καρλάβι , το κύπελλο όμως η πλέον πρωτότυπη :byebye:
Καλησπέρα,

Τα  E,O,D ανήκουν στον κύκλο Euler του τριγώνου \displaystyle ABC. Αφού \widehat{EOD}=90^0, η ED θα είναι διάμετρος του κύκλου του Euler. Έτσι, αν M το μέσο της AB, και αφού το M ανήκει στον κύκλο Euler, θα είναι \widehat{EMD}=90^0. Συνεπώς το τρίγωνο \displaystyle ABD είναι ορθογώνιο ισοσκελές. Άρα \widehat{A}=45^0.

Ακόμα έχουμε ότι \displaystyle{AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=3\sqrt{5} , AB=\sqrt{b^2+36}}, BC=\left | 3-b \right | και sinC=AO/AC=2\sqrt{5}/5.

Από νόμο ημιτόνων στο\Delta A B C παίρνουμε ότι BC/sin45=AB/sinC. Αφού αντικαταστήσουμε στην τελευταία σχέση τις τίμες που έχουμε βρει, υψώνοντας στο τετράγωνο και κάνοντας μερικές πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση : b^2-16b-36=0 και αφού b<0\Rightarrow b=-2.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5475
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 26, 2018 2:49 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 25, 2018 8:25 pm
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία A(0,6) , B(b,0) και C(3,0) .

Φέρουμε τα ύψη BD ,CE και παρατηρούμε ότι : \widehat{EOD}=90^0 . Βρείτε το b .

Όλες οι λύσεις κερδίζουν από ένα καρλάβι , το κύπελλο όμως η πλέον πρωτότυπη :byebye:
Ας δούμε διάφορες κατασκευές χωρίς υπολογισμούς ( Μετά εύκολα γίνεται η απόδειξη και ο υπολογισμός του b)

1. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ATC τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο ζητούμενο σημείο B .Με T(0, - 1)
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png (24.82 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές
2. Τριχοτομώ την CA. Δηλαδή AD = 2DC . Φέρνω κάθετη στην AC στο D που τέμνει την OC στο B

3. Φέρνω τη διχοτόμο OD του ορθογωνίου τριγώνου \vartriangle OAC και μετά τη κάθετη στο D επί την AC που τέμνει την OC στο B.

4. Προς τη μεριά του O γράφω ημικύκλιο διαμέτρου AC . Αν E το μέσο του ημικυκλίου , η AE τέμνει την OC στο B.

5. Μια παραλλαγή της 2. Έστω Z το συμμετρικό του O ως προς το C . Η διάμεσος OM του \vartriangle AOZ τέμνει την AC στο σημείο D .
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας_5.png
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας_5.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές
Η κάθετη στην AC στο D τέμνει την ευθεία OC στο B.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6321
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 26, 2018 9:50 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 25, 2018 8:25 pm
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία A(0,6) , B(b,0) και C(3,0) .

Φέρουμε τα ύψη BD ,CE και παρατηρούμε ότι : \widehat{EOD}=90^0 . Βρείτε το b .

Όλες οι λύσεις κερδίζουν από ένα καρλάβι , το κύπελλο όμως η πλέον πρωτότυπη :byebye:
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png (15.6 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές
Τα ύψη τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού και λόγω των εγγράψιμων τετραπλεύρων που σχηματίζονται, προκύπτουν

οι γωνίες των 45^0 στο σχήμα. Από θεώρημα διχοτόμου στο OCA είναι \displaystyle \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{1}{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{AC = 3\sqrt 5 } \boxed{CD=\sqrt 5}

Τέλος, \displaystyle CD \cdot CA = CO \cdot CB \Leftrightarrow 15 = 3CB \Leftrightarrow CB = 5 \Leftrightarrow \boxed{b=-2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3927
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 27, 2018 12:21 pm

Καλημέρα σε όλους. Τη κύριο μέρος το έγραψε ο Γιώργος παραπάνω:

Τα ύψη του ABC διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού του τριγώνου BED.

Οπότε  \displaystyle \widehat {EOA} = \widehat {AOD} = 45^\circ άρα OD: y = x,  OE: y = -x

Κατόπιν τα πράγματα είναι απλά, με τη χρήση συντεταγμένων. Το σχήμα είναι δανεικό από τον Θανάση.


Διαγωνισμός  φωτοτυπίας.png
Διαγωνισμός φωτοτυπίας.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές

Έστω B(b, 0), b < 0.

Είναι  \displaystyle AC:\;y =  - 2\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y =  - 2x + 6 οπότε, λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων των AC, OD. βρίσκουμε D(2,2),

Είναι  \displaystyle BD \bot AC \Leftrightarrow \frac{2}{{2 - b}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b =  - 2.

edit: Διόρθωσα τον τίτλο του σχήματος, κατόπιν παρατηρήσεως του ιδιοκτήτη...


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9377
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 27, 2018 12:27 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Σάβ Ιαν 27, 2018 12:21 pm
Το σχήμα είναι δανεικό από τον Θανάση .
Γιώργο , δεν κατάλαβες καλά : Είναι διαγωνισμός πρωτοτυπίας , όχι φωτοτυπίας :lol: .

Ωστόσο κερδίζεις σίγουρα ένα καρλάβι , αφού η λύση είναι σωστή !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9938
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 27, 2018 10:20 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 25, 2018 8:25 pm
Όλες οι λύσεις κερδίζουν από ένα καρλάβι , το κύπελλο όμως η πλέον πρωτότυπη :byebye:
KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 27, 2018 12:27 pm
Ωστόσο κερδίζεις σίγουρα ένα καρλάβι , αφού η λύση είναι σωστή !
Θανάση, χάνω κάτι; Τι ακριβώς είναι το καρλάβι; Απλά τυπογραφικό \times 2;

Δεύτερη φορά που με πιάνουν αδιάβαστο σήμερα. Η πρώτη ήταν εδώ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1284
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 28, 2018 2:15 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 25, 2018 8:25 pm
Διαγωνισμός πρωτοτυπίας.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει για κορυφές τα σημεία A(0,6) , B(b,0) και C(3,0) .

Φέρουμε τα ύψη BD ,CE και παρατηρούμε ότι : \widehat{EOD}=90^0 . Βρείτε το b .

Όλες οι λύσεις κερδίζουν από ένα καρλάβι , το κύπελλο όμως η πλέον πρωτότυπη :byebye:

Με \displaystyle HZ \bot EC \Rightarrow ZH//AB \Rightarrow AZHB ισοσκελές τραπέζιο \displaystyle  \Rightarrow AZ = BH

Ακόμη, \displaystyle HC = HZ και \displaystyle \angle BHC = \angle AZH = {135^0}.Άρα \displaystyle \vartriangle AHZ = \angle BHC \Rightarrow \boxed{AH = BC}

Έστω τώρα \displaystyle H(0,x) και \displaystyle B(y,0).

Είναι \displaystyle \tan C = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow \tan \angle BHO = 2 \Rightarrow \frac{{|y|}}{x} = 2 \Rightarrow |y| = 2x \Rightarrow y =  - 2x

\displaystyle AH = BC \Rightarrow 6 - x = 3 - y \Rightarrow 6 - x = 3 + 2x \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \boxed{y =  - 2}
διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png
διαγωνισμός πρωτοτυπίας.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9377
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 02, 2018 7:25 pm

Οφειλόμενη απονομή : Παρότι τυπικά ελλιπείς οι λύσεις του Doloros (αφού δεν βρίσκει το b )

νομίζω ότι η παρουσίαση έξι ορθών λύσεων αποτελεί πρωτοτυπία για τρόπαιο :first:

Οφειλόμενη εξήγηση : Οι υπόλοιποι λύτες κερδίζουν την συμπάθεια του KARKAR

δηλαδή το : Kar\boxed{kar+love} , εξελληνισμένο : καρλάβι !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9938
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαγωνισμός πρωτοτυπίας

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 02, 2018 7:43 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 02, 2018 7:25 pm
Οφειλόμενη εξήγηση : Οι υπόλοιποι λύτες κερδίζουν την συμπάθεια του KARKAR

δηλαδή το : Kar\boxed{kar+love} , εξελληνισμένο : καρλάβι !
:10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης