Με προσέγγιση χιλιοστού

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9377
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Με προσέγγιση χιλιοστού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 30, 2018 10:56 am

Με  προσέγγιση χιλιοστού.png
Με προσέγγιση χιλιοστού.png (14 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Στην πλευρά AC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC θεωρούμε τυχαίο σημείο S .

Α) Κατασκευάστε το ορθογώνιο τραπέζιο SPQT , έτσι ώστε : SP+QT=PQ .

Β) Αν : AB=7,AC=6, AS=4 , υπολογίστε με προσέγγιση χιλιοστού το (SPQT) .



Λέξεις Κλειδιά:
fmak65
Δημοσιεύσεις: 609
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Με προσέγγιση χιλιοστού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Τρί Ιαν 30, 2018 12:10 pm

Για την κατασκευή.
Φέρω την κάθετη από το S στην BC και έστω P το σημείο τομής. Με κέντρο το P φέρω κύκλο με ακτίνα PS και έστω E το σημείο τομής με την BC. Φέρω γωνία 45 μοιρών από το Ε που τέμνει την AC στο Τ. Από το Τ φέρω κάθετη στην BC και έστω Q το σημείο τομής. Το τραπέζιο SPQT είναι το ζητούμενο γιατί: SP & QT κάθετες στην BC , άρα τραπέζιο. Το τρίγωνο EQT είναι ορθογώνιο και οι οξείες γωνίες του 45 μοιρών, άρα ισοσκελές, δηλαδή EQ=QT.
Έχουμε EQ=QT και PS=PE(λόγω κύκλου) , οπότε QT+PS = EQ+EP = QP, που είναι το ζητούμενο.


Μαραντιδης Φωτης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6321
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με προσέγγιση χιλιοστού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 30, 2018 1:49 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 10:56 am
Με προσέγγιση χιλιοστού.pngΣτην πλευρά AC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC θεωρούμε τυχαίο σημείο S .

Α) Κατασκευάστε το ορθογώνιο τραπέζιο SPQT , έτσι ώστε : SP+QT=PQ .

Β) Αν : AB=7,AC=6, AS=4 , υπολογίστε με προσέγγιση χιλιοστού το (SPQT) .
Με προσέγγιση χιλιοστού.png
Με προσέγγιση χιλιοστού.png (14.05 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
A) Φέρνω \displaystyle SP \bot BC και θεωρώ επί της BC σημείο E ώστε PE=SP. Στη συνέχεια φέρνω από το E κάθετη

στην SE που τέμνει την AB στο T. Η κάθετη από το T στην BC ορίζει την τέταρτη κορυφή Q του ζητούμενου

τραπεζίου και ολοκληρώνει την κατασκευή.


Β) \displaystyle \frac{7}{6} = \tan C = \frac{{SP}}{{CP}} \Leftrightarrow CP = \frac{{6SP}}{7}\mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta } SP = \frac{{14\sqrt {85} }}{{85}} και \displaystyle CP = \frac{{12\sqrt {85} }}{{85}}, άρα \displaystyle CE = \frac{{26\sqrt {85} }}{{85}}

\displaystyle BC = \sqrt {85} ,CE = \frac{{26\sqrt {85} }}{{85}} \Rightarrow BE = \frac{{59\sqrt {85} }}{{85}}

\displaystyle \frac{6}{7} = \tan B = \frac{x}{{BE - x}} \Leftrightarrow x = \frac{{354\sqrt {85} }}{{1105}} \Rightarrow \boxed{PQ = \frac{{536\sqrt {85} }}{{1105}}}

\displaystyle (SPQT) = \frac{{P{Q^2}}}{2} = \frac{{143648}}{{14365}} \Leftrightarrow \boxed{(SPQT)\simeq 9.999}


fmak65
Δημοσιεύσεις: 609
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Με προσέγγιση χιλιοστού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Τρί Ιαν 30, 2018 5:46 pm

Για το δεύτερο ερώτημα.
Η υποτείνουσα BC=\sqrt{85} από Πυθαγόρειο θεώρημα.
SC=AC-AS=6-4=2.
Από ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ABC και CSP(κοινή γωνία η C) έχουμε την αναλογία \frac{AC}{CP}=\frac{BC}{SC}=\frac{AB}{SP}\Rightarrow \frac{6}{CP}=\frac{\sqrt{85}}{2}=\frac{7}{SP}\Rightarrow CP=\frac{12}{\sqrt{85}}=  \kappa \alpha \iota SP=\frac{14}{\sqrt{85}}=PE.
Επειδή EQ=QT QB=BC-CP-PE-EQ=\sqrt{85}-\frac{12}{\sqrt{85}}-\frac{14}{\sqrt{85}}-EQ=\frac{85-12-14}{\sqrt{85}}-EQ=\frac{59}{\sqrt{85}}-QT.
Από ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ABC και TQB (κοινή γωνία η B) έχουμε την αναλογία \frac{AB}{QB}=\frac{BC}{TB}=\frac{AC}{QT}\Rightarrow \frac{7}{QB}=\frac{\sqrt{85}}{TB}=\frac{6}{QT}.. Αντικαταστώντας το QB και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι QT=\frac{659}{13*\sqrt{85}}.
Ξέρουμε πλέον τις βάσεις του τραπεζίου (SP , QT) και το ύψος του (PQ=PE+EQ), οπότε από τον τύπο του εμβαδόν τραπεζίου βρίσκουμε (SPQT)=9.999860 και με προσέγγιση χιλιοστού 10.


Μαραντιδης Φωτης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης