3k , 4π , 12

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^2+3k}{\sqrt{x^2+k}} , k>0$ . Αν η ελάχιστη τιμή

της συνάρτησης είναι

, πόσες φορές παίρνει η συνάρτηση την τιμή $4\pi$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2018 12:05 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^2+3k}{\sqrt{x^2+k}} , k>0$ . Αν η ελάχιστη τιμή

της συνάρτησης είναι , πόσες φορές παίρνει η συνάρτηση την τιμή $4\pi$ ;

Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στις θέσεις $\displaystyle x = - \sqrt k ,x = \sqrt k$ κι επειδή

η ελάχιστη τιμή είναι 12,

προκύπτει ότι $\boxed{k=18}$

Έχουμε λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle \frac{{{x^2} + 54}}{{\sqrt {{x^2} + 18} }} = 4\pi \Leftrightarrow {x^4} + (108 - 16{\pi ^2}){x^2} + 2916 - 288{\pi ^2} = 0$

η οποία έχει

πραγματικές ρίζες αφού έχει διακρίνουσα $\displaystyle \Delta = 256{\pi ^2}({\pi ^2} - 9) > 0$ . Η απάντηση λοιπόν είναι

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle g(x) = \frac{{{x^2} + 54}}{{\sqrt {{x^2} + 18} }} - 4\pi$

: 3k,4π,12.png (6.62 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές

#3

Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης μπορεί να βρεθεί με απλό τρόπο και ως εξής:

$\displaystyle{f(x)=\sqrt{x^2+k}+\frac{2k}{\sqrt{x^2+k}}\stackrel{AM-GM}{\geq }2\sqrt{2k}}$

και η ισότητα πιάνεται όταν $\displaystyle{\sqrt{x^2+k}=\frac{2k}{\sqrt{x^2+k}}\iff x=\pm \sqrt{k}.}$

Άρα $\displaystyle{\min f=2\sqrt{2k}.}$ Επομένως $\displaystyle{2\sqrt{2k}=12\iff k=18.}$

3k , 4π , 12

3k , 4π , 12

Re: 3k , 4π , 12

Re: 3k , 4π , 12

Μέλη σε σύνδεση