Σπεύσατε !

KARKAR · #1

: Σπεύσατε !.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 1766 φορές

Ήρθε ο καιρός για μιαν άσκηση , η οποία θα λάβει τουλάχιστον

λύσεις . Λοιπόν ,

το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει κάθετες πλευρές AB=8 , AC=6

. Επιλέξτε

σημείο

της υποτείνουσας , ώστε ο κύκλος διαμέτρου

, να εφάπτεται της

.

Είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει "καλύτερη" λύση από τη δική σας αλλά παρηγορηθείτε ,

σκεπτόμενοι ότι οπωσδήποτε θα υπάρξει και μια ( τουλάχιστον ) "χειρότερη "

#2

: 19-03-2018 Γεωμετρία b.jpg (87.18 KiB) Προβλήθηκε 1753 φορές

Έστω

.

Η

τέμνει την $\displaystyle BC:\;\;y = - \frac{3}{4}x + 6$ στο $\displaystyle K\left( {a,\; - \frac{3}{4}a + 6} \right)$ , που είναι κέντρο του ζητούμενου κύκλου.

Οπότε $\displaystyle KC = KP \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( { - \frac{3}{4}a} \right)}^2}} = - \frac{3}{4}a + 6 \Leftrightarrow \frac{5}{4}a = - \frac{3}{4}a + 6 \Leftrightarrow a = 3.$ Άρα P(3, 0)

οπότε η ακτίνα του κύκλου είναι 3,75

άρα

και το

προσδιορίστηκε.

#3

Η εύρεση του κέντρου

με τη βοήθεια παραβολής είναι εκτός παιγνιδιού καθ’ όσον είναι εκτός φιλοσοφίας .( παρότι λόγω λογισμικού είναι η πιο γρήγορη .

Κατά τα άλλα μια πρώτη ιδέα και βλέπουμε …

: Σπεύσατε_ok.png (16.76 KiB) Προβλήθηκε 1736 φορές

Ας είναι

το άλλο σημείο τομής του κύκλου με την

και

το μέσο του

.

Επειδή $\vartriangle ABC \approx \vartriangle MBO \approx \vartriangle TBS$ και αντιστοιχούν σε μορφή (3,5,4)

θα έχουμε:

$A{T^2} = AT \cdot AB \Rightarrow 16{m^2} = 36(1 - m) \Rightarrow \boxed{m = \frac{3}{4}}$ . Έτσι $\boxed{CS = \frac{{15}}{2}}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ! Να ..σπεύσω προς υποβολήν του σχήματος και η αιτιολόγηση έπεται..

: Σπεύσατε !!.PNG (7.71 KiB) Προβλήθηκε 1688 φορές

Αιτιολόγηση: Από τις -λόγω ομοιότητας- σχέσεις $\dfrac{10-R}{x}=\dfrac{10}{8}$ και $\dfrac{R}{x}= \dfrac{6}{8}$ παίρνουμε BP=x=5

.

Η τομή του κύκλου (B,5)

..ή του

..με την

είναι το

φέρω $PO\perp AB$ και ο κύκλος (O,OC)

ξανατέμνει την

στο

..Φιλικά Γιώργος.

hlkampel · #5

Είναι

Από Π.Θ.

Αν ${\rm E}$ το κέντρο του κύκλου και

η ακτίνα του, από την ομοιότητα (εύκολη) των τριγώνων ABC

και

παίρνουμε:

$\dfrac{x}{6} = \dfrac{{10 - x}}{{10}} \Leftrightarrow 10x = 60 - 6x \Leftrightarrow x = \dfrac{{15}}{4}$

Άρα $CS = \dfrac{{15}}{2}$

#6

: Σπεύσατε_ok_1.png (21.95 KiB) Προβλήθηκε 1715 φορές

Έστω

η προβολή του

στη

. Επειδή : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ .

Οπότε CK = CA = 6

. Αν $KS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS = y$ αφού τα K,B

αρμονικά συζυγή των

S,C

θα έχω :

$\left\{ \begin{gathered} BK = 4 \hfill \\ \frac{{SK}}{{SB}} = \frac{{CK}}{{CB}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 4 \hfill \\ \frac{x}{y} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \boxed{CS = \frac{{15}}{2}}$

#7

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο , έχω την εξής γενική κατασκευή .

Φέρνω τη διχοτόμο και τη κάθετη σ αυτή στο που τέμνει τη στο ζητούμενο σημείο

: Σπεύσατε_ok_γενικώς.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 1698 φορές

Η απόδειξη απλή . Υπολογισμός κανένας . Γι αυτό έγραφε τα παραπάνω ο πανπόνηρος Θανάσης

Christos.N · #8

: 14.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 1687 φορές

Η παραβολή με διευθετούσα την

και εστία την

τέμνει την υποτείνουσα

στο σημείο

, αρκεί να γράψουμε το ημικύκλιο με κέντρο

και ακτίνα

.

Christos.N · #9

: 15.png (24.84 KiB) Προβλήθηκε 1684 φορές

Κατασκευάζουμε συμμετρική ημιευθεία της

ως προς την

και στην συνέχεια φέρνουμε κάθετη στην

στο

η οποία τέμνει της ημιευθείες στα σημεία T,D

, στο ισοσκελές τρίγωνο που σχηματίσαμε TDB

εγγράφουμε κύκλο.

#10

Παρόμοια με άλλες...

: Σπεύσατε.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 1664 φορές

H κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

και

η εφαπτομένη του στο

τέμνει την

στο

και προσδιορίζει το κέντρο του ζητούμενου κύκλου.

STOPJOHN · #11

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 19, 2018 9:40 pm
Σπεύσατε !.pngΉρθε ο καιρός για μιαν άσκηση , η οποία θα λάβει τουλάχιστον λύσεις . Λοιπόν ,

το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει κάθετες πλευρές . Επιλέξτε

σημείο της υποτείνουσας , ώστε ο κύκλος διαμέτρου , να εφάπτεται της .

Είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει "καλύτερη" λύση από τη δική σας αλλά παρηγορηθείτε ,

σκεπτόμενοι ότι οπωσδήποτε θα υπάρξει και μια ( τουλάχιστον ) "χειρότερη "

Καλημέρα

Εστω $\hat{DCB}=\hat{\omega }$

Τότε απο το θεώρημα χορδής -εφαπτομένης $\hat{MDA}=\hat{\omega }=\hat{SDB}=\hat{ACB}=\hat{SMD}=\hat{DSM}$
$OD//AB\Rightarrow \dfrac{x}{6}=\dfrac{BD}{8}\Leftrightarrow BD=\dfrac{4x}{3},(1),$

Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC,\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{6}{10}\Leftrightarrow DB=5 ,(2)$

$(1),(2)\Rightarrow x=\dfrac{15}{4}$

Γιάννης

KARKAR · #12

: Σπεύσατε.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 1621 φορές

Γράφω τη λύση που είχα ως ακλόνητο φαβορί για τον τίτλο της "καλύτερης" :

Επειδή OP=OC

και $OP\perp AB$ , λόγω των ίσων έγχρωμων γωνιών ,

η

είναι διχοτόμος . Φέροντας το κάθετο τμήμα

εντοπίζω το κέντρο .

Τώρα ποιος ενδιαφέρεται για το

; Αφού το λιοντάρι το βλέπουμε

τι νόημα έχει να ψάχνουμε για τα ίχνη του ; Αλλά φοβάμαι ότι πάλι το έπαθλο

θα καταλήξει στην Κρήτη . Γεια σου Νίκο Φραγκάκη !

Γιώργος Μήτσιος · #13

Καλημέρα σε όλους. Η γενίκευση του Νίκου στην (#7) ανάρτηση είναι πράγματι αφοπλιστική !

Ας δούμε μια ακόμη διαδρομή για να φτάσουμε στο σημείο

. Η διαδρομή αυτή φαίνεται αρχικά ..αναπάντεχη
έχει όμως το σκεπτικό της.

: Σπουδή με .. καθυστέρηση.PNG (8.2 KiB) Προβλήθηκε 1573 φορές

Θεωρούμε το μέσον

της πλευράς

και την τομή

της διχοτόμου

με την διάμεσο

.

Ισχυρίζεται .. κάποιος ότι η τομή

της ημιευθείας

με την

είναι το ζητούμενο σημείο
δηλ το ημικύκλιο διαμέτρου

εφάπτεται της

Μπορούμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό αυτό ;...Αν χρειαστεί , οφείλω να επανέλθω.
Φιλικά Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #14

Ως συνέχεια της προηγούμενης , ας δώσω συνοπτικά ( λόγω της ωραίας απόδειξης του Αλέξανδρου στο θέμα εδώ)
το σκεπτικό για τον ως άνω εντοπισμό του σημείου

. Με βοηθό το σχήμα :

: Σπεύσατε ! 2 PNG.PNG (7.87 KiB) Προβλήθηκε 1515 φορές

Το

προκύπτει ως τομή της

με μια διατέμνουσα. Με γνωστό το λόγο CS/SB=3

, θεωρώντας το μέσο

της

και την τομή

των

το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο BAC

μας δίνει

. Έπειτα το ίδιο θεώρημα
στο τρίγωνο MAC

μας δίνει

δηλ το

είναι η τομή της διαμέσου

με την διχοτόμο

.

Γίνεται φανερό ότι ο εντοπισμός γίνεται και πιο απλά : Παίρνουμε BQ=AB/2

και το μέσο

της

τότε η τομή των KQ,BC

είναι το ζητούμενο... Φιλικά Γιώργος.

Σπεύσατε !

Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Re: Σπεύσατε !

Μέλη σε σύνδεση