Ένα παιχνίδι με καπέλα

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Maria-Eleni Nikolaou]

Θα αποδείξουμε ότι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το Ν είναι 1.

Για τη στρατηγική, αρχικά οι κάτοικοι μπορούν να κωδικοποιήσουν κάθε διαφορετικό χρώμα με έναν αριθμό από 0 έως 6. Συνεννοούνται εκ των προτέρων ότι ο πρώτος που θα μιλήσει, θα πει το άθροισμα όλων των καπέλων που βλέπει μόντουλο 7. Στη συνέχεια, καθένας από τους υπόλοιπους κατοίκους, έχοντας την πληροφορία για το μοντουλο 7 και σε συνδυασμό με το καινούργιο άθροισμα που βλέπει (αγνοώντας τα καπέλα των προλαλήσαντων) μπορεί να προσδιορίσει το χρώμα του καπέλου του.

Παράδειγμα, έστω ότι ο πρώτος βλέπει άθροισμα 55. Τότε, θα πει το χρώμα που αντιστοιχεί στον αριθμό 6, διότι . Ο δεύτερος, έστω ότι βλέπει άθροισμα 50 (αγνοώντας το καπέλο του πρώτου). Τότε πρέπει δηλαδή, , οπότε θα πει το χρώμα που αντιστοιχεί στον αριθμό 5. Ο τρίτος, έστω ότι βλέπει άθροισμα 50 (αγνοώντας τα καπέλα των προηγούμενων). Τότε πρέπει δηλαδή . (Γράψαμε ισοϋπόλοιπο με 1 διότι 6-5=1). Οπότε θα πει το χρώμα που αντιστοιχεί στον αριθμό 0. Ακολουθούμε όμοια στρατηγική μέχρι και τον τελευταίο…

Παρατηρούμε ότι μόνο ο πρώτος δεν μπορεί να προσδιορίσει το χρώμα του καπέλου του, καθώς είναι αυτός που δίνει την πληροφορία (για το άθροισμα μόντουλο 7) για τους υπόλοιπους. Μπορεί φυσικά να το πετύχει με πιθανότητα 1/7.