ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. α) Δώστε τον ορισμό του λογαρίθμου πραγματικού αριθμού και αποδείξτε τους τύπους ευρέσεως
του λογαρίθμου γινομένου δυο αριθμών, πηλίκου δυο αριθμών, δυνάμεως αριθμού και τον τύπο αλλαγής βάσεως.
β) Αριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι $\displaystyle{\log \alpha}$ και ο δεύτερος όρος είναι $\displaystyle{\log \beta}$ .
Να δειχθεί ότι το άθροισμα ${{\Sigma }_{\nu }}$ των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της προόδου είναι $\displaystyle{{{\Sigma }_{\nu }}=\frac{1}{2}\log \frac{{{\beta }^{\nu (\nu -1)}}}{{{\alpha }^{\nu (\nu -{\color{red}3} )}}}}$ .

2.Δίνεται το τριώνυμο $\phi (x)={{x}^{2}}+\alpha x+\beta$ με $\displaystyle{ \alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ .
α) Να βρείτε τους αριθμούς $y,z\in \mathbb{C}$ για τους οποίους ισχύουν: $\displaystyle{\phi(y)=z, \phi(z)=y}$ και $y\ne z$
β) Έστω ότι υπάρχει ένας μοναδικός αριθμός $\displaystyle{ \omega}$ για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{\phi(\omega)=\omega}$ .
Τότε να δείξετε ότι υπάρχουν γνήσιοι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{y}$ και $\displaystyle{z}$ για τους οποίους ισχύουν $\displaystyle{\phi(y)=z, \phi(z)=y}$ και $y\ne z$ .
Υπολογίστε τους αριθμούς αυτούς συναρτήσει του $\displaystyle{\omega}$ .

3. Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\beta = 4\gamma \,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\rm A}}{2}} \right)\,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{{\rm A}}{2}} \right)}$ . Να δειχθεί ότι:
α) $\displaystyle{{\rm A} = 2\Gamma }$
β) $\displaystyle{{\alpha ^2} = \beta \gamma + {\gamma ^2}}$

edit
Διόρθωση ενός εκθέτη στο 1β
μετονομασία

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\beta = 4\gamma \,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\rm A}}{2}} \right)\,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{{\rm A}}{2}} \right)}$ . Να δειχθεί ότι:
α) $\displaystyle{{\widehat{ A}} = 2\widehat{\Gamma} }$
β) $\displaystyle{{\alpha ^2} = \beta \gamma + {\gamma ^2}}$

εδώ

(α) $\displaystyle{ \Rightarrow}$ (β)

δηλαδή

$\displaystyle{ {\widehat{ A}} = 2\widehat{\Gamma} \Rightarrow {\alpha ^2} = \beta \gamma + {\gamma ^2}}$

αυτόνομες αποδείξεις βρίσκονται εδώ

#3

parmenides51 έγραψε: 3. Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\beta = 4\gamma \,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\rm A}}{2}} \right)\,\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{{\rm A}}{2}} \right)}$ . Να δειχθεί ότι:
α) $\displaystyle{{\rm A} = 2\Gamma }$
β) $\displaystyle{{\alpha ^2} = \beta \gamma + {\gamma ^2}}$

Έχουμε: $\displaystyle{\beta =2\gamma [\sigma \upsilon \nu (\frac{\pi}{6}+\frac{A}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{A}{2})+\sigma \upsilon \nu(\frac{\pi}{6}+\frac{A}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{A}{2})]\Rightarrow}$

$\displaystyle{\beta =2\gamma (\sigma \upsilon \nu A +\frac{1}{2})}$ , ΣΧΕΣΗ 1

(α) Από την σχέση 1 έχουμε: $\displaystyle{2R\eta \mu B=2.2R\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu A +2R\eta \mu \Gamma \Rightarrow}$

$\displaystyle{\eta \mu (A+\Gamma )=2\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu A+\eta \mu \Gamma \Rightarrow}$

$\displaystyle{\eta \mu A \sigma \upsilon \nu \Gamma =\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu A +\eta \mu \Gamma \Rightarrow}$

$\displaystyle{\eta \mu (A-\Gamma )=\eta \mu \Gamma }$ . Και αφού οι γωνίες $\displaystyle{A-\Gamma , \Gamma }$ ανήκουν στο διάστημα

$\displaystyle{(-\pi , \pi)}$ , και δεδομένου ότι στο διάστημα αυτό η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\eta \mu x}$ είναι $\displaystyle{"1-1"}$ , συμπεραίνουμε

ότι $\displaystyle{A-\Gamma =\Gamma \Rightarrow A=2\Gamma}$

(β) Πάλι από την σχέση 1, έχουμε:

$\displaystyle{\beta = 2\gamma \sigma \upsilon \nu A + \gamma \Rightarrow \beta =2\gamma \frac{\beta ^2 +\gamma ^2 -a^2}{2\beta \gamma}+\gamma \Rightarrow}$

$\displaystyle{a^2 =\beta \gamma +\gamma ^2}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1.α) Δώστε τον ορισμό του λογαρίθμου πραγματικού αριθμού και αποδείξτε τους τύπους ευρέσεως
του λογαρίθμου γινομένου δυο αριθμών, πηλίκου δυο αριθμών, δυνάμεως αριθμού και τον τύπο αλλαγής βάσεως.
β) Αριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι $\displaystyle{\log \alpha}$ και ο δεύτερος όρος είναι $\displaystyle{\log \beta}$ .
Να δειχθεί ότι το άθροισμα ${{\Sigma }_{\nu }}$ των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της προόδου είναι $\displaystyle{{{\Sigma }_{\nu }}=\frac{1}{2}\log \frac{{{\beta }^{\nu (\nu -1)}}}{{{\alpha }^{\nu (\nu -{\color{red}3} )}}}}$ .

α) θεωρία

β) $\displaystyle{\alpha_1=\log \alpha}$ , $\displaystyle{\alpha_2=\log \beta}$
$\displaystyle{\omega=\alpha_2-\alpha_1=\log \beta-\log \alpha=\log \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)}$

$\displaystyle{{{\Sigma }_{\nu }}=\left(2\alpha_1+(\nu-1)\omega\right)\frac{\nu}{2}=\left(2\log \alpha+(\nu-1)\log \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)\right)\frac{\nu}{2}}$

$\displaystyle{=\left(\log \alpha^2+\log \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{\nu-1}\right)\frac{\nu}{2}=\frac{\nu}{2}\log \left[\alpha^2 \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{\nu-1}\right]}$

$\displaystyle{=\frac{\nu}{2}\log \left(\alpha^2\frac{\beta^{\nu-1}}{\alpha^{\nu-1}}\right)=\frac{\nu}{2}\log \left(\frac{\beta^{\nu-1}}{\alpha^{\nu-1-2}}\right)}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\log \left(\frac{\beta^{\nu-1}}{\alpha^{\nu-3}}\right)^{\nu}}=\frac{1}{2}\log \frac{{{\beta }^{\nu (\nu -1)}}}{{{\alpha }^{\nu (\nu -3)}}}}$

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση