ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

parmenides51 · #1

ΠΟΛΥΤΕΧΝ(ΙΚΟΣ) - ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ(ΗΜΑΤΙΚΟΣ) - ΓΕΩ(ΠΟΝΟ)ΔΑΣ(ΟΛΟΓΙΚΟΣ) ΚΥΚΛΟΣ - ΓΕΩΜ(ΕΤΡΙΑ) ΤΡΙΓΩΝ(ΟΜΕΤΡΙΑ).

1. α) Να κατασκευαστεί η κοινή κάθετος μεταξύ δυο ασύμβατων ευθειών.
β) Αν δυο ασύμβατες ευθείες είναι ορθογώνιες, να αποδείξετε οτι υπάρχει επίπεδο που περιέχει τη μια και είναι κάθετο στην άλλη.

2. α) Ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ η διχοτόμος $\displaystyle{A\Delta}$ αν προεκταθεί τέμνει την περιγεγραμμένο κύκλο κέντρου $\displaystyle{\color{red}O}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Delta E O}}$ συναρτήσει της υποτείνουσας $\displaystyle{B\Gamma=a}$ και της διχοτόμου $\displaystyle{A\Delta=d}$ .
β) Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου γνωρίζετε την υποτείνουσα και την διχοτόμο της ορθής γωνίας.

3. Θεωρούμε τα μη συγγραμμικά διανύσματα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ και υποθέτουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ με $\left| \vec{\alpha }+\lambda \vec{\beta } \right|=1$ .
Να δείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ δεν υπερβαίνει το μέτρο του $\vec{\beta }$ .

4. Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{2}(-1+\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x)+(4-4\sqrt{2})\cdot \eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu x=0$

edit's
απλούστευση ονομασίας
μετονομασία
προσθήκη σημείου O στην εκφώνηση της 2

#2

Για το πρώτο θέμα:

: Κοινή Κάθετη δύο ασυμβάτων ευθειών.PNG (66.03 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

α) Από τυχαίο σημείο $\displaystyle{A}$ της μιας $\displaystyle{(e_1)}$ εκ των δύο ασυμβάτων $\displaystyle{(e_1), (e_2)}$ φέρουμε παράλληλη ευθεία $\displaystyle{(x)}$ προς την άλλη.
Έτσι οι δύο τεμνόμενες ευθείες $\displaystyle{(e_1)}$ και $\displaystyle{(x)}$ ορίζουν ένα επίπεδο παράλληλο προς την $\displaystyle{(e_2)}$ . Αυτό είναι το $\displaystyle{(p)}$ .

Από τυχαίο σημείο $\displaystyle{B}$ της άλλης, δηλαδή της $\displaystyle{(e_2)}$ φέρουμε κάθετη ευθεία $\displaystyle{BB_o}$ προς το επίπεδο $\displaystyle{(p)}$ .
Στη συνέχεια από το σημείο $\displaystyle{B_o}$ φέρουμε την $\displaystyle{(y)}$ παράλληλη προς την $\displaystyle{(x)}$ η οποία τέμνει την $\displaystyle{(e_1)}$
στο σημείο $\displaystyle{M}$ . (αφού και η παράλληλή της $\displaystyle{(x)}$ τέμνει την $\displaystyle{(e_1)}$ ).

Τέλος από το σημείο $\displaystyle{M}$ φέρουμε παράλληλη προς την $\displaystyle{BB_o}$ η οποία ορίζει επί της $\displaystyle{(e_2)}$ το σημείο $\displaystyle{N}$ .

Το τμήμα $\displaystyle{MN}$ ορίζει την κοινή κάθετη των δύο αυτών ασυμβάτων διότι η $\displaystyle{MN}$ ως παράλληλη προς την $\displaystyle{BB_o}$ είναι κάθετη στο επίπεδο $\displaystyle{(p)}$
άρα και κάθετη στην $\displaystyle{(e_1)}$ που κείται σ' αυτό το επίπεδο. Ακόμα η $\displaystyle{MN}$ είναι κάθετη και στην $\displaystyle{(e_2)}$ διότι το τετράπλευρο $\displaystyle{(MNBB_o)}$ εύκολα
διαπιστώνεται ότι είναι ορθογώνιο.

β)

: Κοινή κάθετη δύο ασυμβάτων ευθειών 1.PNG (63.43 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

Αν οι ασύμβατες $\displaystyle{(e_1), (e_2)}$ είναι ορθογώνιες τότε το όπως φαίνεται κι από το δεύτερο σχήμα η $\displaystyle{(e_1)}$ είναι κάθετη στις $\displaystyle{(MN), (y)}$ και συνεπώς κάθετη στο επίπεδο αυτών.
Άρα το επίπεδο που ορίζει το ορθογώνιο $\displaystyle{(MNBB_o)}$ περιέχει την $\displaystyle{(e_2)}$ και είναι κάθετο στην $\displaystyle{(e_1)}$ .
Όμοια το επίπεδο των $\displaystyle{(MN), (e_1)}$ είναι περιέχει την $\displaystyle{(e_1)}$ και είναι κάθετο στην $\displaystyle{(e_2)}$ .

Παρατήρηση:

: Κοινή κάθετη δύο ασυμβάτων ευθειών 2.PNG (47.52 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι το τμήμα $\displaystyle{MN}$ είναι το ελάχιστο από κάθε άλλο $\displaystyle{ST}$ που συνδέει αντίστοιχα σημεία της μιας με σημεία της άλλης ασυμβάτου.

Κώστας Δόρτσιος

Broly · #3

parmenides51 έγραψε: Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{2}(-1+\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x)+(4-4\sqrt{2})\cdot \eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu x=0$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Broly έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
και προκύπτει η δευτεροβάθμια $(2-2\sqrt{2})*u^2+\sqrt{2}*u+(\sqrt{2}-2)=0 , u\in[-2,2]$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Για τη λύση της εξίσωσης που έγραψε σε απόκρυψη ο Broly:

Γενικά για τα διπλά ριζικά της μορφής:

$\displaystyle{\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$ με $\displaystyle A,B\in Q^{+}$ και $\displaystyle{A\pm \sqrt{B} >0}$ ισχύει:

$\displaystyle \sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\left|C \right|}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-\left|C \right|}{2}}$

όπου:

$\displaystyle C^2=A^2-B$ και $\displaystyle{C\in Q}$ .

Με απλά λόγια ένα τέτοιο διπλό ριζικό αναλύεται σε άθροισμα απλών αν η τιμή του $\displaystyle{C}$ είναι ρητός αριθμός.

Στην προκειμένη περίπτωση είναι:

$\displaystyle{D=2(17-12\sqrt{2})=2(17-\sqrt{288})}$ και $\displaystyle{C^2=1}$ .

Άρα αναλύεται το διπλό αυτό ριζικό σε άθροισμα απλών.

Ύστερα από αυτά μπορείς να συνεχίσεις.

Φιλικά

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Φωτεινή καλημέρα! Με πρόλαβες κάνοντας πιο σύντομη διαδρομή. Να είσαι καλά.

Ιστοσελίδα · #6

parmenides51 έγραψε:3. Θεωρούμε τα μη συγγραμμικά διανύσματα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ και υποθέτουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ με $\left| \vec{\alpha }+\lambda \vec{\beta } \right|=1.$
Να δείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα διανύσματα $\vec{\alpha },\vec{\beta}$ δεν υπερβαίνει το μέτρο του $\vec{\beta }.$

Αν

είναι το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου που ορίζεται από τα διανύσματα $\vec{\alpha} , \vec{\beta} ,$ τότε:

$E=(AB)(DK)=|\vec{\alpha}|\cdot |\vec{\beta}|\sin \theta \Leftrightarrow E^2=|\vec{\alpha}|^2\cdot |\vec{\beta}|^2\sin^2 \theta =$

$|\vec{\alpha}|^2\cdot |\vec{\beta}|^2(1-\cos^2 \theta) =|\vec{\alpha}|^2\cdot |\vec{\beta}|^2-(\vec{\alpha}\vec{\beta})^2 .$

Είναι: $|\vec{\alpha}+\lambda\vec{\beta}|=1 \Leftrightarrow (\vec{\alpha}+\lambda\vec{\beta})^2=1 \Leftrightarrow |\vec{\beta }|^2\lambda^2+2(\vec{\alpha} \vec{\beta})\lambda+|\vec{\alpha }|^2-1=0 .$

Αφού υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda$ θα είναι:

$\Delta\geq 0 \Leftrightarrow 4(\vec{\alpha} \vec{\beta})^2-4|\vec{\beta}|^2(|\vec{\alpha}|^2-1)\geq 0 \Leftrightarrow$

$|\vec{\alpha}|^2\cdot |\vec{\beta}|^2-(\vec{\alpha}\vec{\beta})^2 \leq |\vec{\beta}|^2 \Leftrightarrow E^2\leq |\vec{\beta}|^2 \Leftrightarrow E\leq |\vec{\beta}|.$

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #8

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #9

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΓΕΩΜ-ΤΡΙΓΩΝ

Μέλη σε σύνδεση