Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

parmenides51 · #1

1. α) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ . Να υπολογισθεί ο πίνακας ${{A}^{2}}-2A$ .
β)Έστω $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{X}$ ένας πίνακας $\displaystyle{2x2}$ . Να βρεθεί ο $\displaystyle{X}$ αν $\displaystyle{X+ \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3 & \lambda -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9 & -5\\ 3\lambda & 2(\lambda^2-1) \end{bmatrix}}$

2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1,x\in \mthbb{R}}$ .
Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της $\displaystyle{f}$ και το είδος μονοτονίας σε καθένα από αυτά, καθώς και τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα.
Επίσης να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ στρέφει
α) τα κοίλα άνω
β) τα κοίλα κάτω
Ακόμα να βρεθούν τα ενδεχόμενα σημεία καμπής.

3. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού $A\subseteq \mathbb{R}$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η f λέγεται άρτια
ii) Πότε η f λέγεται περιττή
iii) Πότε η f λέγεται περιοδική
iv) Πότε η f λέγεται φραγμένη άνω και
v) Πότε η f λέγεται φραγμένη κάτω
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{3x}{{{x}^{2}}+1}, x\in \mthbb{R}}$ . Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ .

4. α) Έστω f,g συναρτήσεις που ορίζονται στο διάστημα $\Delta \subseteq \mathbb{R}$ και ${{x}_{0}}\in \Delta$ .
Αν οι $\displaystyle{f,g}$ είναι παραγωγίσιμες στο ${{x}_{0}}$ τότε να αποδειχθεί ότι και η $\displaystyle{f+g}$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ και είναι ${{\left( f+g \right)}^{\prime }}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})+{g}'({{x}_{0}})$
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=2{{x}^{2}}+x+3 , x\in \mthbb{R}}$ .
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{M(0,3)}$ .

Σ. Διονύσης · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ . Να υπολογισθεί ο πίνακας ${{A}^{2}}-2A$ .
β)Έστω $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{X}$ ένας πίνακας $\displaystyle{2x2}$ . Να βρεθεί ο $\displaystyle{X}$ αν $\displaystyle{X+ \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3 & \lambda -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9 & -5\\ 3\lambda & 2(\lambda^2-1) \end{bmatrix}}$

α)Είναι:

$\displaystyle{B=A^2-2A=\displaystyle{\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0}\end{bmatrix}\cdot\displaystyle{\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0}\end{bmatrix}-2\displaystyle{\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0}\end{bmatrix}=\displaystyle{\begin{bmatrix}7 & 6 \\ 2 & 3}\end{bmatrix}-\displaystyle{\begin{bmatrix}4 & 6 \\ 2 & 0}\end{bmatrix}=\displaystyle{\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3}\end{bmatrix}}$

β)Έστω: $X=\displaystyle{\begin{bmatrix}a & b \\c & d}\end{bmatrix}$ ο ζητούμενος πίνακας.Έχουμε:

$\displaystyle{\displaystyle{\begin{bmatrix}a & b \\ c & d}\end{bmatrix} + \displaystyle{\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & \lambda}\end{bmatrix}\cdot\displaystyle{\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & \lambda -1}\end{bmatrix}=\displaystyle{\begin{bmatrix}9 & -5 \\ 3\lambda & 2\left(\lambda^2 -1\right)}\end{bmatrix}}$

$\displaystyle{\displaystyle{\begin{bmatrix}a & b \\ c & d}\end{bmatrix} + \displaystyle{\begin{bmatrix}5 & \lambda - 5 \\ 3\lambda & \lambda^2-\lambda}\end{bmatrix}=\displaystyle{\begin{bmatrix}9 & -5 \\ 3\lambda & 2\left(\lambda^2 -1\right)}\end{bmatrix}}$

Επομένως πρέπει:

$\displaystyle{a+5=9\Leftrightarrow a=4}$

$\displaystyle{b+\lambda-5=-5\Leftrightarrow b=-\lambda}$

$\displaystyle{c+3\lambda=3\lambda\Leftrightarrow c=0}$

$\displaystyle{d+\lambda^2-\lambda=2\lambda^2 -2\Leftrightarrow d=\lambda^2 +\lambda -2}$

Eπομένως τελικά: $X=\displaystyle{\begin{bmatrix}4 & -\lambda \\ 0 & \lambda^2 +\lambda -2}\end{bmatrix}$

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος στις πράξεις

Σ. Διονύσης · #3

parmenides51 έγραψε: 3. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού $A\subseteq \mathbb{R}$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η f λέγεται άρτια
ii) Πότε η f λέγεται περιττή
iii) Πότε η f λέγεται περιοδική
iv) Πότε η f λέγεται φραγμένη άνω και
v) Πότε η f λέγεται φραγμένη κάτω
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{3x}{{{x}^{2}}+1}, x\in \mthbb{R}}$ . Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ .

α)Θεωρία

β) $D_{f}=\mathbb{R}$ Βάζουμε όπου χ το -χ και λαμβάνουμε:

$\displaystyle{f(-x)=-\frac{3x}{x^2 +1}\Leftrightarrow f(-x)=-f(x)}$

Άρα η

είναι περριτή και επομένως αρκεί να τη μελετήσουμε στο $(0,+\infty)$

Έχουμε:

$\displaystyle{f(x)=3\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}$

Όμως από την ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε:

$\displaystyle{x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{x}}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\geq 2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1}{x+\frac{1}{x}}\leq \frac{1}{2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{3}{x+\frac{1}{x}}\leq \frac{3}{2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)\leq \frac{3}{2}$ , $\forall x\in (0,+\infty)$

με $\displaystyle{f(0)=0}$

και λόγω περιττότητας τελικά: $\displaystyle{f(D_{f})=\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]}$

gauss1988 · #4

parmenides51 έγραψε:3. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού $A\subseteq \mathbb{R}$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η f λέγεται άρτια
ii) Πότε η f λέγεται περιττή
iii) Πότε η f λέγεται περιοδική
iv) Πότε η f λέγεται φραγμένη άνω και
v) Πότε η f λέγεται φραγμένη κάτω
β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{3x}{{{x}^{2}}+1}, x\in \mthbb{R}}$ . Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ .

Γειά σε όλους.

Μια ακόμα λύση για το (β)

Έστω $y=\frac{3x}{x^2 +1}\Leftrightarrow yx^2 -3x+y=0$ . Αν $y=0\rightarrow x=0$ . Δηλαδή το 0Ef(R)

. Αν $y\neq 0$ τότε για να έχει μία τουλάχιστον ρίζα πραγματική το τριώνυμο, πρέπει $\Delta \geq 0$ , δηλαδή πρέπει $9-4y^2 \geq 0$ , δηλαδή ισοδύναμα πρέπει $-\frac{3}{2}\leq y\leq \frac{3}{2}$ kai επομένως $f(R)=[-\frac{3}{2} , \frac{3}{2}]$

Διόρθωσα μια απροσεξία σε πράξεις, που εντοπίστηκε από τον Διονύση

Christos75 · #5

4. α) Έστω f,g συναρτήσεις που ορίζονται στο διάστημα $\Delta \subseteq \mathbb{R}$ και ${{x}_{0}}\in \Delta$ .
Αν οι $\displaystyle{f,g}$ είναι παραγωγίσιμες στο ${{x}_{0}}$ τότε να αποδειχθεί ότι και η $\displaystyle{f+g}$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ και είναι ${{\left( f+g \right)}^{\prime }}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})+{g}'({{x}_{0}})$
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=2{{x}^{2}}+x+3 , x\in \mthbb{R}}$ .
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{M(0,3)}$

Λύση

α) Θεωρία

β) Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο $(x_{0},f(x_{0}))$ είναι: $y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$

Εν προκειμένω έχουμε: $y-3=f'(0)(x-0)\Leftrightarrow y-3=1.x\Leftrightarrow x-y+3=0$ όπου είναι και η ζητούμενη ευθεία.

Ιστοσελίδα · #6

Μια ακόμα λύση για το 3.β)

Είναι $D_f=\mathbb{R}.$ Θέτουμε $x=\tan a$ με $a\in \left(-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right) .$

Τότε $f(x)=\dfrac{3x}{x^2+1}=\dfrac{3\tan a}{\tan^2a+1}=\dfrac{3\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{1}{\cos^2a}}=3\sin a\cos a=\dfrac{3}{2}\sin 2a .$ ΄

'Ομως $-\dfrac{3}{2}\leq \dfrac{3}{2}\sin 2a\leq \dfrac{3}{2}$ και για $a\in \left[-\frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4}\right] .$ η παράσταση

$\dfrac{3}{2}\sin 2a$ παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left[-\dfrac{3}{2} , \dfrac{3}{2}\right].$

Άρα το σύνολο τιμών της

είναι: $f(\mathbb{R})=\left[-\dfrac{3}{2} , \dfrac{3}{2}\right].$

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1,x\in \mthbb{R}}$ .
Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της $\displaystyle{f}$ και το είδος μονοτονίας σε καθένα από αυτά, καθώς και τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα.
Επίσης να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ στρέφει
α) τα κοίλα άνω
β) τα κοίλα κάτω
Ακόμα να βρεθούν τα ενδεχόμενα σημεία καμπής.

$\displaystyle{f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1}$

η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και παραγωγισίμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως πολυωνυμική

$\displaystyle{f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)}$

$\displaystyle{f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1}$ ή $\displaystyle{x=3}$
$\displaystyle{f'(x)>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty,1)\cup (3,+\infty)}$
$\displaystyle{f'(x)<0 \Leftrightarrow x\in (1,3)}$

οπότε η $\displaystyle{f }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(-\infty,1]}$ και στο $\displaystyle{[3,+\infty)}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[1,3]}$

η $\displaystyle{f }$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για $\displaystyle{x=1}$ στο $\displaystyle{(-\infty,3]}$ και τοπικό ελάχιστο για $\displaystyle{x=3}$ στο $\displaystyle{[1,+\infty)}$

με τιμές $\displaystyle{f(1)=1^{3}-6\cdot 1^{2}+9\cdot 1+1=1-6+9+1=5}$

$\displaystyle{f(3)=3^{3}-6\cdot 3^{2}+9\cdot 3+1=27-54+27+1=1}$

η $\displaystyle{f'}$ είναι συνεχής και παραγωγισίμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως πολυωνυμική

$\displaystyle{f''(x)=(3x^2-12x+9)'=6x-12}$

$\displaystyle{f''(x)=0 \Leftrightarrow x=2}$
$\displaystyle{f''(x)>0 \Leftrightarrow x\in (2,+\infty)}$
$\displaystyle{f''(x)<0 \Leftrightarrow x\in (-\infty,2)}$

η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{[2,+\infty)}$ και κοίλη στο $\displaystyle{(-\infty,2]}$

$\displaystyle{f(2)=2^{3}-6\cdot 2^{2}+9\cdot 2+1=8-24+18+1=3}$

η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ έχει σημείο καμπής το $\displaystyle{(2,f(2))=(2,3)}$

Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1985

Μέλη σε σύνδεση