ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. α) Να δείξετε ότι μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση μπορεί να έχει το πολύ ένα σημείο μηδενισμού στο πεδίο ορισμού της.
β) Με τη βοήθεια των παραγώγων να δείξετε ότι η συνάρτηση $\phi (x)={{\alpha }^{x}},\,\,0<\alpha <1$ είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση
στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
γ) Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}$ έχει τη λύση $\displaystyle{x=2}$ .
Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή δεν έχει άλλη λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

2. α) Να μελετήσετε τα ακρότατα της συνάρτησης : $\phi (x)=\alpha {{x}^{2}}+\beta x+\gamma ,\,\,\alpha \ne 0$ .
β) Θεωρούμε το πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές $P(x)=\alpha {{x}^{3}}+\beta {{x}^{2}}+\gamma x+\delta$ όπου $\displaystyle{\alpha>0}$ και ${{\beta }^{2}}-4\alpha \gamma \le 0$ .
Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε διάφορους μεταξύ τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\kappa, \lambda}$ με $\kappa \cdot \lambda \le 0$
ισχύει η σχέση $\displaystyle{\left| \frac{P(\kappa )-P(\lambda )}{\kappa -\lambda } \right|\ge \frac{4\alpha \gamma -{{\beta }^{2}}}{4\alpha }}$ .

3. Για κάθε όχι αρνητικό πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z=x+yi

όπου $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ πραγματικοί αριθμοί
που ικανοποιούν την ισότητα ${{\left| z \right|}^{2}}-2iz+2\alpha (1+i)=0$ .

4. α) Να δείξετε ότι ${{\log }_{\alpha }}x=\left( {{\log }_{\alpha }}\beta \right)\cdot \left( {{\log }_{\beta }}x \right)$ όπου $\displaystyle{\alpha ,\beta, x}$ είναι θετικοί αριθμοί , $\displaystyle{\alpha \ne 1}$ και $\displaystyle{\beta \ne 1}$ .
β) Δίνεται η συνάρτηση $\phi (x)={{\log }_{\alpha }}x+{{\log }_{\beta }}x$ .
Να εκφράσετε αυτή τη συνάρτηση με τη βοήθεια του λογαρίθμου $\displaystyle{x}$ με βάση το γινόμενο $\alpha \beta \left( {{\log }_{\alpha \beta }}x \right)$ και του λογάριθμου $\displaystyle{\alpha}$ με βάση $\beta \left( {{\log }_{\beta }}\alpha \right)$ .
Στη συνέχεια να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης αυτής για τις διάφορες θετικές τιμές του $\displaystyle{x}$ με την προϋπόθεση ότι $\displaystyle{0<\alpha<1}$ και $\displaystyle{\beta>1}$ .

edit
μετονομασία

ArgirisM · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Να δείξετε ότι μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση μπορεί να έχει το πολύ ένα σημείο μηδενισμού στο πεδίο ορισμού της.
β) Με τη βοήθεια των παραγώγων να δείξετε ότι η συνάρτηση $\phi (x)={{\alpha }^{x}},\,\,0<\alpha <1$ είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση
στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
γ) Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}$ έχει τη λύση $\displaystyle{x=2}$ .
Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή δεν έχει άλλη λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

α,β) Θεωρία.

γ)Για x = 2

είναι

. Θα εξετάσουμε το θέμα της μοναδικότητας. Είναι $3^x + 4^x = 5^x \Longleftrightarrow (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1 (1)$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$ , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα, ως άθροισμα δύο γνησίως φθίνουσων συναρτήσεων (είναι εκθετικές με βάση μικρότερη της μονάδας). Άρα η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x) = 1

έχει μοναδική λύση. Άρα το

είναι ο μόνος πραγματικος που επαληθεύει τη συνθήκη της άσκησης.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

3. Για κάθε όχι αρνητικό πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς όπου $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ πραγματικοί αριθμοί
που ικανοποιούν την ισότητα ${{\left| z \right|}^{2}}-2iz+2\alpha (1+i)=0$ .

Έστω $\displaystyle{\alpha\geq 0}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{{\left| z \right|}^{2}}-2iz+2\alpha (1+i)=0}$ , όπου

$\displaystyle{z\in\mathbb{C}}$ με $\displaystyle{z=x+yi\,\,,x,y\in\mathbb{R}}$

Τότε, έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned}\left| z \right|}^{2}}-2iz+2\alpha (1+i)=0&\Leftrightarrow x^2+y^2-2i(x+yi)+2\alpha(1+i)=0\\&\Leftrightarrow x^2+y^2-2x\,i+2y^2+2\alpha+2\alpha\,i=0\\&\Leftrightarrow \left(x^2+y^2+2y+2\alpha\right)+\left(2\alpha-2x\right)i=0\\&\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2y+2\alpha=0\\ 2\alpha-2x=0 \end{matrix}\end{aligned}}$

Από την δεύτερη σχέση έχουμε $\displaystyle{x=\alpha}$ και αντικαθιστώντας στην πρώτη βρίσκουμε,

$\displaystyle{\alpha^2+y^2+2y+2\alpha=0\Rightarrow y^2+2y=-\alpha^2-2\alpha\Rightarrow \left(y+1\right)^2=2-\left(\alpha+1\right)^2=\left[\sqrt{2}-(\alpha+1)\right]\left[\sqrt{2}+\alpha+1\right]}$

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις.

1) $\displaystyle{\alpha\in\left[0,\sqrt{2}-1\right)}$

Τότε, $\displaystyle{y=-1-\sqrt{2-\left(\alpha+1\right)^2}}$ ή $\displaystyle{y=-1+\sqrt{2-\left(\alpha+1\right)^2}}$

2) $\displaystyle{\alpha>\sqrt{2}-1}$

Τότε, δεν υπάρχουν τέτοιοι μιγαδικοί.

3) $\displaystyle{\alpha=\sqrt{2}-1\Rightarrow y=-1}$

edit:Διόρθωση τυπογραφικού λάθους

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Demosthenes56 · #6

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι $\displaystyle{{x^2} + {y^2} + 2y + 2a = 0}$ .
Τελικά $\displaystyle{x = a}$ και $\displaystyle{y = - 1 \pm \sqrt {1 - {a^2} - 2a} }$ , $\displaystyle{0 \leqslant a \leqslant \sqrt 2 - 1}$ .
Οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στο τόξο του κύκλου $\displaystyle{{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} = 2\,\,,\,\,x \geqslant 0}$ (τεταρτημόριο).
Edit Μετά την απόστολη του μηνύματός μου διαπίστωσα την πιο πάνω λύση. Αν η λύση μου θεωρείται περιττή, ας σβυστεί και ζητώ συγγνώμη.

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση