Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

parmenides51 · #1

1. α) Θεωρούμε το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y={{\gamma }_{1}} \\ {{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y={{\gamma }_{2}} \\ {{\alpha }_{3}}x+{{\beta }_{3}}y={{\gamma }_{3}} \\ \end{matrix} \right.$ .
Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα είναι συμβιβαστό τότε θα ισχύει $\left| \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\beta }_{1}} & {{\gamma }_{1}} \\ {{\alpha }_{2}} & {{\beta }_{2}} & {{\gamma }_{2}} \\ {{\alpha }_{3}} & {{\beta }_{3}} & {{\gamma }_{3}} \\ \end{matrix} \right|=0$
β) Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} \,\,\,\,\,x-2y+2z=0 \\ \,\,\,\,\,2x-3y+z=0 \\ -3x+2y+6z=0 \\ \end{matrix} \right.$

2. α) Έστω ${{S}_{x}}$ η τυπική απόκλιση της μεταβλητής $\displaystyle{X}$ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα.
Να αποδειχθεί ότι η τυπική απόκλιση ${{S}_{y }}$ της μεταβλητής $\displaystyle{Y=\alpha X+\beta\,\,, \alpha, \beta \in \mathbb{R}}$ είναι ${{S}_{y}}=\left| \alpha \right|{{S}_{x}}$ .
β) Έστω $A=\left[ \begin{matrix} x & 2 \\ 4 & -1 \\ \end{matrix} \right]$ και $\displaystyle{\mathbb{I},\mathbb{O}}$ ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας $\displaystyle{2x2}$ αντιστοίχως.
Να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ώστε να είναι ${{A}^{2}}+6A-3\mathbb{I}=\mathbb{O}$ .

3. α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & 3{{x}^{2}}-5x+6,x\le 1 \\ & 2\sqrt{{{x}^{2}}+3},x>1 \\ \end{matrix} \right.$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ${{x}_{0}}=1$
β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+1}{x}}dx}$

4. α) Έστω $\nu \in \mathbb{N}$ και $\displaystyle{\nu>1}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)={{x}^{\nu }}$ .
Να αποδείξετε ότι ${f}'(x)=\nu {{x}^{\nu -1}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
β) Έστω η συνάρτηση f με $f(x)=3{{x}^{3}}-\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3$ όπου $\displaystyle{\alpha, \beta \in \mathbb{R} }$ .
Εάν η $\displaystyle{f}$ έχει τοπικά ακρότατα στα ${{x}_{1}}=1$ και $\displaystyle{{{x}_{2}}=-\frac{5}{9}}$ τότε να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta}$ .

#2

2. α) Έστω ${{S}_{x}}$ η τυπική απόκλιση της μεταβλητής $\displaystyle{X}$ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα.
Να αποδειχθεί ότι η τυπική απόκλιση ${{S}_{y }}$ της μεταβλητής $\displaystyle{Y=\alpha X+\beta\,\,, \alpha, \beta \in \mathbb{R}}$ είναι ${{S}_{y}}=\left| \alpha \right|{{S}_{x}}$ .
β) Έστω $A=\left[ \begin{matrix} x & 2 \\ 4 & -1 \\ \end{matrix} \right]$ και $\displaystyle{\mathbb{I},\mathbb{O}}$ ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας $\displaystyle{2x2}$ αντιστοίχως.
Να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ώστε να είναι ${{A}^{2}}+6A-3\mathbb{I}=\mathbb{O}$ .

α) Θεωρία

β)
$\displaystyle{\begin{array}{l} {A^2} + 6A - 3I = \mathbb{O} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x & 2 \\ 4 & { - 1} \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x & 2 \\ 4 & { - 1} \\ \end{array}} \right] + 6\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x & 2 \\ 4 & { - 1} \\ \end{array}} \right] - 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right] = 0 \Leftrightarrow \\ \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 8} & {2x - 2} \\ {4x - 4} & 9 \\ \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x} & {12} \\ {24} & { - 6} \\ \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3} & 0 \\ 0 & { - 3} \\ \end{array}} \right] = 0 \Leftrightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 6x + 5} & {2x + 10} \\ {4x + 20} & 0 \\ \end{array}} \right] = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 6x + 5 = 0} \\ {2x + 10 = 0} \\ {4x + 20 = 0} \\ \end{array}} \right.\,\,\, \Leftrightarrow x = - 5 \\ \end{array}}$

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

3. α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & 3{{x}^{2}}-5x+6,x\le 1 \\ & 2\sqrt{{{x}^{2}}+3},x>1 \\ \end{matrix} \right.$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ${{x}_{0}}=1$
β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+1}{x}}dx}$

Λύση

α)Αρχικά παρατηρούμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{x=1}$ διότι

$\displaystyle{\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\left(3x^2-5x+6\right)=4=f(1)=\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\left(2\sqrt{x^2+3}\right)=4}$

Επομένως, έχει νόημα να εξετάσουμε αν η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $\displaystyle{x=1}$

Αρκεί να εξετάσουμε αν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\,\,,\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}$ υπάρχουν στο

$\displaystyle{\displaystyle{\mathbb{R}}$ και είναι ίσα μεταξύ τους.

Αν συμβαίνει αυτό, τότε η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $\displaystyle{x=1}$

Είναι $\displaystyle{f(1)=4}$

$\displaystyle{\begin{aligned}\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3x^2-5x+6-4}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3x^2-5x+2}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3\left(x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}\right)}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\frac{1}{36}\right]}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(3x-2)(x-1)}{x-1}\\&=\lim_{x\to 1^{-}}\left(3x-2\right)\\&=1\end{aligned}}$

Για $\displaystyle{x>1}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\frac{2\sqrt{x^2+3}-4}{x-1}\\&=\frac{\left(2\sqrt{x^2+3}-4\right)\left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}{\left(x-1\right) \left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\\&=\frac{4x^2+12-16}{\left(x-1\right) \left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\\&=\frac{4\left(x-1\right) \left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\\&=\frac{4\left(x+1\right)}{2\sqrt{x^2+3}+4\right)}\end{aligned}}$

Άρα, $\displaystyle{\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{4\left(x+1\right)}{2\sqrt{x^2+3}+4\right)}=1}$

Συνεπώς, η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $\displaystyle{x=1}$

β) $\displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{x^3-5x^2+1}{x}\,dx=\int_{1}^{2}\left(x^2-5x+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int_{1}^{2}d\left(\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+\ln x\right)=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+\ln x\right]_{1}^{2}=\ln 2-\frac{31}{6}}$

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

4. α) Έστω $\nu \in \mathbb{N}$ και $\displaystyle{\nu>1}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)={{x}^{\nu }}$ .
Να αποδείξετε ότι ${f}'(x)=\nu {{x}^{\nu -1}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
β) Έστω η συνάρτηση f με $f(x)=3{{x}^{3}}-\alpha {{x}^{2}}+\beta x-3$ όπου $\displaystyle{\alpha, \beta \in \mathbb{R} }$ .
Εάν η $\displaystyle{f}$ έχει τοπικά ακρότατα στα ${{x}_{1}}=1$ και $\displaystyle{{{x}_{2}}=-\frac{5}{9}}$ τότε να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta}$ .

α)Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι

$\displaystyle{\begin{aligned}f^\prime(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\left(x+h\right)^{\nu}-x^{\nu}}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\left(x+h-x\right)\left[\left(x+h\right)^{\nu-1}+\left(x+h\right)^{\nu-2}\cdot x+...+x^{\nu-1}\right]}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\left[\left(x+h\right)^{\nu-1}+\left(x+h\right)^{\nu-2}\cdot x+...+x^{\nu-1}\right]\\&=\nu\cdot x^{\nu-1}\end{aligned}}$

β)Είναι $\displaystyle{D(f)=\mathbb{R}}$

Η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως πολυωνυμική, άρα, και στα σημεία $\displaystyle{x_1=1\,\,,x_2=-\frac{5}{9}}$

Επί, πλέον, η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία αυτά, οπότε, από το Θεώρημα του Fermat, έχουμε ότι

$\displaystyle{f^\prime(x_1)=0=f^\prime(x_2)}$

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι $\displaystyle{f^\prime(x)=9x^2-2\alpha x+\beta}$

Η $\displaystyle{f^\prime}$ είναι ένα τριώνυμο με δύο άνισες και πραγματικές ρίζες, άρα, από τους τύπους Vieta παίρνουμε

$\displaystyle{x_1+x_2=\frac{2\alpha}{9}}$ και $\displaystyle{x_1\cdot x_2=\frac{\beta}{9}}$

Έτσι, $\displaystyle{\frac{2\alpha}{9}=\frac{4}{9}\Rightarrow \alpha=2}$ και $\displaystyle{\frac{\beta}{9}=-\frac{5}{9}\Rightarrow \beta =-5}$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:1. α) Θεωρούμε το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y={{\gamma }_{1}} \\ {{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y={{\gamma }_{2}} \\ {{\alpha }_{3}}x+{{\beta }_{3}}y={{\gamma }_{3}} \\ \end{matrix} \right.$ .
Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα είναι συμβιβαστό τότε θα ισχύει $\left| \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\beta }_{1}} & {{\gamma }_{1}} \\ {{\alpha }_{2}} & {{\beta }_{2}} & {{\gamma }_{2}} \\ {{\alpha }_{3}} & {{\beta }_{3}} & {{\gamma }_{3}} \\ \end{matrix} \right|=0$
β) Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} \,\,\,\,\,x-2y+2z=0 \\ \,\,\,\,\,2x-3y+z=0 \\ -3x+2y+6z=0 \\ \end{matrix} \right.$

α) θεωρία

β) Προσθέτoντας όλες τις εξισώσεις κατά μέλη προκύπτει $\displaystyle{-3y+9z=0 \Leftrightarrow y=3z}$

οπότε το σύστημα γίνεται $\left\{ \begin{matrix} \,\,\,\,\,x-6z+2z=0 \\ \,\,\,\,\,2x-9z+z=0 \\ -3x+6z+6z=0 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \,\,\,\,\,x=4z \\ \,\,\,\,\,2x=8z\\ -3x=-12z \\ \end{matrix} \right \Leftrightarrow x=4z$

οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής $\displaystyle{(x,y,z)=(4z,3z,z)=(4a ,3a,a)}$ με $\displaystyle{a \in \mathbb{R}}$

Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1988

Μέλη σε σύνδεση