Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Ιστοσελίδα · #1

1. Να βρείτε το άθροισμα της σειράς: $\displaystyle \sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}$

2. Να προσδιοριστεί το a ,

ώστε η τιμή του

που κάνει την παράσταση $x+\dfrac{1}{x+a}$ ελάχιστη,

να είναι διπλάσια από την τιμή που την κάνει μέγιστη.

3. Αποδείξτε ότι: $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+3\cdot 4^2+\ldots +\nu(\nu+1)^2=\dfrac{\nu(\nu+1)(\nu+2)(3\nu+5)}{12} ,$ για κάθε $\nu\in\mathbb{N} .$

4. Αποδείξτε ότι η ακολουθία $a_{\nu} , \nu=1,2,3,\ldots ,$ με a_1=1

και $a_{\nu+1}=\sqrt{1+a_{\nu}}$

είναι φραγμένη και γνήσια αύξουσα. Αποδείξτε ότι: $\lim a_{\nu}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

5. Να λυθεί το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z-w = 12\\ x^2+y^2-z^2-w^2 = 6\\ x^3+y^3-z^3+w^3 = 218\\ xy+zw = 45 \end{matrix}\right.$

S.E.Louridas · #2

stranton έγραψε: 5. Να λυθεί το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z-w = 12\\ x^2+y^2-z^2-w^2 = 6\\ x^3+y^3-z^3+w^3 = 218\\ xy+zw = 45 \end{matrix}\right.$

Είναι πανέμορφο διδακτικά σύστημα:
Συνδυάζοντας την 2η εξίσωση με την 4η παίρνουμε:
$\left( {x + y} \right)^2 - \left( {z - \omega } \right)^2 = 96\quad \left( * \right).$
Συνδυάζοντας τώρα την 1η εξίσωση με την (*), έχουμε:
$x + y = 10,\;\;z - \omega = 8\quad \left( { * * } \right).$
Συνδυάζοντας την 3η εξίσωση με τις (**) παίρνουμε:
$5xy + z\omega = 129\quad \left( { * * * } \right).$
Συνδυάζοντας την 4η σχέση με την (***) έχουμε τον προσδιορισμό των γινομένων $xy,z\omega$ , οπότε με βάση και τις (**) καταλήγουμε στην λύση του συστήματος μας.

edit: Τοποθέτηση του

και διόρθωση σε πράξη.

Χριστόδουλος · #3

stranton έγραψε:
4. Αποδείξτε ότι η ακολουθία $a_{\nu} , \nu=1,2,3,\ldots ,$ με και $a_{\nu+1}=\sqrt{1+a_{\nu}}$

είναι φραγμένη και γνήσια αύξουσα. Αποδείξτε ότι: $\lim a_{\nu}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Υποθέτω ότι $a_n< a_{n+1}$ .Tότε:
$1+a_n<1+ a_{n+1}\Rightarrow \sqrt{1+a_n}< \sqrt{1+ a_{n+1}}\Rightarrow a_{n+1}< a_{n+2}$
Επομένως η a_n

είναι γνησίως αύξουσα.Επίσης, η a_n

είναι φραγμένη, π.χ από το 2.Έχουμε:
a_1< 2

.Υποθέτω ότι a_n< 2

.Τότε προφανώς και $a_{n+1}< 2$ .
Αν lima_n=l

, τότε το

ικανοποιεί την σχέση $l=\sqrt{1+l}$ .
$l_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},l_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ .
Η l_2

απορρίπτεται αφού $a_n> 0,\forall n\in \mathbb{N}$ .
Άρα $lima_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

#4

stranton έγραψε:1. Να βρείτε το άθροισμα της σειράς: $\displaystyle \sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}$

Με ανάλυση σε απλά κλάσματα βλέπουμε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\Big),}$

οπότε το μερικό άθροισμα είναι τηλεσκοπικό και

$\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=...=\frac{1}{2}\Big(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\Big)\to \frac{1}{4}}$ καθώς $\displaystyle{n\to \infty.}$

S.E.Louridas · #5

stranton έγραψε: 3. Αποδείξτε ότι: $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+3\cdot 4^2+\ldots +\nu(\nu+1)^2=\dfrac{\nu(\nu+1)(\nu+2)(3\nu+5)}{12} ,$ για κάθε $\nu\in\mathbb{N} .$

Έχουμε:
$1 \cdot 2^2 + ... + v\left( {v + 1} \right)^2 = \sum {v^3 } + 2\sum {v^2 } + \sum v ...$

(*) Αν είχαμε επιλέξει και μπεί τότε στην Σ.Μ.Α., τώρα θα απολαμβάναμε μία πολύ καλή σύνταξη, anyway.

Ιστοσελίδα · #6

Το 5. και εδώ .

S.E.Louridas · #7

stranton έγραψε:1. Να βρείτε το άθροισμα της σειράς: $\displaystyle \sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{1}{\nu(\nu+1)(\nu+2)}$

Άσκηση 220, από το βιβλίο της Άλγεβρας του Η.Ντζιώρα (απλή αναφορά μόνο και μόνο για τις θύμισες).

#8

stranton έγραψε:2. Να προσδιοριστεί το ώστε η τιμή του που κάνει την παράσταση $x+\dfrac{1}{x+a}$ ελάχιστη,

να είναι διπλάσια από την τιμή που την κάνει μέγιστη.

Δεν υπάρχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή για $x\in \Bbb{R}...$

Ίσως κάτι άλλο εννοεί η άσκηση...

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #9

socrates έγραψε:
stranton έγραψε:2. Να προσδιοριστεί το ώστε η τιμή του που κάνει την παράσταση $x+\dfrac{1}{x+a}$ ελάχιστη,

να είναι διπλάσια από την τιμή που την κάνει μέγιστη.

Δεν υπάρχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή για $x\in \Bbb{R}...$

Ίσως κάτι άλλο εννοεί η άσκηση...

Η εκφώνηση, πάντως, είναι ακριβώς αυτή.
Ίσως, λοιπόν, να εννοεί ότι η τιμή του χ στην οποία παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, είναι διπλάσια από την τιμή στην οποία παρουσιάζει τοπικό μέγιστο (;)

parmenides51 · #10

NIZ έγραψε:
socrates έγραψε:
stranton έγραψε:2. Να προσδιοριστεί το ώστε η τιμή του που κάνει την παράσταση $x+\dfrac{1}{x+a}$ ελάχιστη,

να είναι διπλάσια από την τιμή που την κάνει μέγιστη.

Δεν υπάρχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή για $x\in \Bbb{R}...$

Ίσως κάτι άλλο εννοεί η άσκηση...

Η εκφώνηση, πάντως, είναι ακριβώς αυτή.
Ίσως, λοιπόν, να εννοεί ότι η τιμή του χ στην οποία παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, είναι διπλάσια από την τιμή στην οποία παρουσιάζει τοπικό μέγιστο (;)

Όντως αυτό εννοεί
με βάση την λύση που είδα στο Ετήσιο Δελτίο του Πάλλα του 1977 όπου την έχει λυμένη και παραθέτω παρακάτω,
αντιγράφω (μεταφρασμένη) την εκφώνηση αλλά και την '''λύση'' που έκαναν (σελ.101)

εκφώνηση
Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{y=x+\frac{1}{x+\alpha}}$ . Να βρεθεί η τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ τέτοια, που όταν κάνει την παράσταση ελάχιστη να είναι διπλάσια αυτής που την κάνει μέγιστη
λύση
Θέτουμε $\displaystyle{y=x+\frac{1}{x+\alpha}}$ , οπότε θα έχουμε $\displaystyle{x^2+(\alpha -y)x+1-\alpha y=0}$ (1) .
Επειδή o $\displaystyle{x}$ είναι πραγματικός , η διακρίνουσα $\displaystyle{ \Delta}$ της (1) θα είναι $\displaystyle{\Delta \ge 0}$ .
Αλλά $\displaystyle{ \Delta=(\alpha -y)^2-4+4\alpha y =\alpha^2+2 \alpha y +y^2-4}$ οπότε $\displaystyle{ \alpha^2+2 \alpha y +y^2-4\ge 0}$ ή $\displaystyle{ y^2+2 \alpha y+ \alpha^2 -4\ge 0}$ (2) .
Οι ρίζες της $\displaystyle{y^2+2 \alpha y+ \alpha^2 -4}$ είναι οι $\displaystyle{ y_1=-\alpha -2\,\, , y_2=-\alpha +2}$
κι επειδή $\displaystyle{-\alpha -2<-\alpha +2}$ η (2) επαληθεύεται για $\displaystyle{y\le -\alpha -2}$ και $\displaystyle{ -\alpha +2 \ge y}$
Άρα είναι μέγιστο $\displaystyle{y= -\alpha -2}$ και ελάχιστο $\displaystyle{y= -\alpha +2 }$
Σύμφωνα με την εκφώνηση είναι $\displaystyle{ -\alpha +2 =2(-\alpha -2)}$
Από αυτήν βρίσκουμε $\displaystyle{\alpha =-6}$
Άρα για την τιμή $\displaystyle{\alpha =-6}$ συμβαίνει το ζητούμενο,
'είναι δηλαδή για $\displaystyle{\alpha =-6}$ μέγιστο $\displaystyle{ y= -\alpha -2=4}$ , ελάχιστο $\displaystyle{y= -\alpha+2=8}$

orestisgotsis · #11

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #12

stranton έγραψε:5. Να λυθεί το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z-w = 12\\ x^2+y^2-z^2-w^2 = 6\\ x^3+y^3-z^3+w^3 = 218\\ xy+zw = 45 \end{matrix}\right.$

Για την ιστορία, το 5ο θέμα δεν αναφέρεται καν στο Δελτίο του Πάλλα, είχε τα υπόλοιπα 4 θέματα και μόνο αυτά !

Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση