Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Ιστοσελίδα · #1

Ζήτημα 1ο. Τρίγωνο $AB\varGamma$ είναι ορθογώνιο στο

Στη διχοτόμο της γωνίας

σημειώνουμε
σημείο

Αν είναι $\dfrac{AB}{A\varGamma}=\lambda ,$ τότε να δειχθεί ότι $\lambda\cdot \textnormal{\gr εφ}x(1+\textnormal{\gr εφ}y)= \textnormal{\gr εφ}y(1+\textnormal{\gr εφ}x) ,$
όπου: $A\widehat{B}M=x$ και $A\widehat{\varGamma}M=y .$

Ζήτημα 2ο. Αν σε τρίγωνο $AB\varGamma$ οι διάμεσοι $B\varDelta$ και $\varGamma E$ είναι κάθετες, να δειχθεί ότι:
α) $2(\textnormal{\gr σφ}B+\textnormal{\gr σφ}\varGamma)= \textnormal{\gr σφ}A$ και
β) $\textnormal{\gr συν}A\geq \dfrac{4}{5} .$

Ζήτημα 3ο. Να επιλυθεί η εξίσωση: $\textnormal{\gr ημ}(\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr σφ}\frac{1}{2})=\textnormal{\gr εφ}(\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr συν}\sqrt{x})$ όταν x>0 .

Ζήτημα 4ο. Αν στο τρίγωνο $AB\varGamma$ είναι $\mu_a=\gamma ,$ δείξτε ότι: $\textnormal{\gr εφ}\dfrac{A}{2}=\left(1+ \textnormal{\gr εφ}^2\dfrac{A}{2}\right)\cdot\textnormal{\gr ημ}(B-\varGamma)$

Ζήτημα 5ο. Να δειχθεί η ταυτότητα: $A\equiv\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}+\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}={\color{red}\dfrac{\pi}{3}}$ με $x\neq 0 , y\neq 0 .$

edit: Στο φυλλάδιο που έχω, γράφει $\dfrac{\pi}{4} ,$ αλλά όπως φαίνεται και από την παρακάτω λύση, του Κώστα, είναι $\dfrac{\pi}{3} .$

#2

stranton έγραψε:
Ζήτημα 4ο. Αν στο τρίγωνο $AB\varGamma$ είναι $\mu_a=\gamma ,$ δείξτε ότι: $\textnormal{\gr εφ}\dfrac{A}{2}=\left(1+ \textnormal{\gr εφ}^2\dfrac{A}{2}\right)\cdot\textnormal{\gr ημ}(B-\varGamma)$

Έστω $\textnormal{\gr ΑΜ}$ η διάμεσος του τριγώνου, $\textnormal{\gr ΜΑΓ=Β-Γ }$

Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο $\textnormal{\gr ΑΜΓ }$ έχουμε $\displaystyle \frac{M\Gamma}{\eta\mu (B-\Gamma)}=\frac{A\Gamma}{\eta\mu B}\Rightarrow \eta\mu(B-\Gamma)=\frac{\alpha}{2}\frac{\eta\mu B}{\beta}\Rightarrow$

$\displaystyle \eta\mu (B-\Gamma)=\frac{\eta\mu A}{2}$
---------
$\displaystyle (1+\epsilon\phi^2\frac{A}{2})\eta\mu (B-\Gamma)=\frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2\frac{A}{2}}\frac{\eta\mu A}{2}=\epsilon\phi\frac{A}{2}$

#3

stranton έγραψε:Ζήτημα 1ο. Τρίγωνο $AB\varGamma$ είναι ορθογώνιο στο Στη διχοτόμο της γωνίας σημειώνουμε
σημείο Αν είναι $\dfrac{AB}{A\varGamma}=\lambda ,$ τότε να δειχθεί ότι $\lambda\cdot \textnormal{\gr εφ}x(1+\textnormal{\gr εφ}y)= \textnormal{\gr εφ}y(1+\textnormal{\gr εφ}x) ,$
όπου: $A\widehat{B}M=x$ και $A\widehat{\varGamma}M=y .$

Η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε είναι ισοδύναμη με τις ακόλουθες:

$\lambda \dfrac{\rm tanx}{1+\rm tanx}=\dfrac{\rm tany}{1+\rm tany}$

$\lambda \dfrac{\rm sinx}{\rm sinx+\rm cosx}=\dfrac{\rm siny}{\rm siny+\rm cosy}$

$\lambda \dfrac{\rm sinx}{\rm sin(x+45^o)}=\dfrac{\rm siny}{\rm sin(y+45^o)}$

$\lambda \dfrac{\rm sinx}{\rm sin\widehat{AMB}}=\dfrac{\rm siny}{\rm sin\widehat{AMC}}$

Αν λάβουμε υπ΄ όψιν το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα AMB,AMC

η τελευταία είναι ισοδύναμη με την

$\lambda \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AM}{AC}$

η οποία είναι αληθής.

: sma1977.1.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

kostas_zervos · #4

stranton έγραψε: Ζήτημα 5ο. Να δειχθεί η ταυτότητα: $A\equiv\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}+\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{4}$ με $x\neq 0 , y\neq 0 .$

Έστω $\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}=a$ και $\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}=b$ με $a,b\in \left(-\dfrac{\pi}{2}\;,\;\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Τότε $\textnormal{\gr εφ}a=\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}$ και $\textnormal{\gr εφ}b=\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}$ .

Άρα $\textnormal{\gr εφ}(a+b)=\dfrac{\textnormal{\gr εφ}a+\textnormal{\gr εφ}b}{1-\textnormal{\gr εφ}a\textnormal{\gr εφ}b}=$
$=\dfrac{\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}+\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}}{1-\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}}=\cdots=\dfrac{2\sqrt{3}\left(x^2-xy+y^2\right)}{2\left(x^2-xy+y^2\right)}=\sqrt{3}$ .

Αλλά $-\pi<a+b<\pi$ , άρα $a+b=\dfrac{\pi}{3}$ ή $a+b=\dfrac{\pi}{3}-\pi=-\dfrac{2\pi}{3}$ .

Πρέπει να υπάρχει τυπογραφικό λάθος στην εκφώνηση $\dfrac{\pi}{3}$ αντί $\dfrac{\pi}{4}$ .

Επίσης δεν μπορώ να απορρίψω τη 2η περίπτωση .

π.χ. Για x=-1

,

έχουμε $\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}+\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}=\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}(-\sqrt{3})+\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}(-\sqrt{3})=-\dfrac{2\pi}{3}$ , μήπως είναι $x>0\;,\;y>0$ ;

kostas_zervos · #5

stranton έγραψε: Ζήτημα 3ο. Να επιλυθεί η εξίσωση: $\textnormal{\gr ημ}(\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr σφ}\frac{1}{2})=\textnormal{\gr εφ}(\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr συν}\sqrt{x})$ όταν

Πρέπει $\sqrt{x}\leq 1 \iff x\leq 1$ , άρα $0<x\leq 1$ .

Έστω $\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr σφ}\frac{1}{2}=a$ με $0<a<\pi$ , τότε $\textnormal{\gr σφ}a=\dfrac{1}{2}>0$ , άρα $0<a<\dfrac{\pi}{2}$ .

Ισχύει ότι $\textnormal{\gr ημ}^2a=\dfrac{1}{1+\textnormal{\gr σφ}^2a}=\dfrac{4}{5}$ , άρα $\textnormal{\gr ημ} a=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ , αφού $0<a<\dfrac{\pi}{2}$ .

Έστω $\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr συν}\sqrt{x}=b$ με $0<b<\pi$ , τότε $\textnormal{\gr συν}b=\sqrt{x}>0$ , άρα $0<b<\dfrac{\pi}{2}$ .

Ισχύει ότι $\textnormal{\gr εφ}^2b=\dfrac{1}{\textnormal{\gr συν}^2b}-1=\dfrac{1-x}{x}$ , άρα $\textnormal{\gr εφ} b=\dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}$ , αφού $0<b<\dfrac{\pi}{2}$ .

Έτσι η εξισωση γράφεται $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\iff 4x=5-5x \iff x=\dfrac{5}{9}$ .

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

#7

stranton έγραψε:Ζήτημα 2ο. Αν σε τρίγωνο $AB\varGamma$ οι διάμεσοι $B\varDelta$ και $\varGamma E$ είναι κάθετες, να δειχθεί ότι:
α) $2(\textnormal{\gr σφ}B+\textnormal{\gr σφ}\varGamma)= \textnormal{\gr σφ}A$ και
β) $\textnormal{\gr συν}A\geq \dfrac{4}{5} .$

$\alpha )$ Αν

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου $AB\Gamma$ τότε από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε $GB^2+G\Gamma ^2=B\Gamma ^2.$
Είναι $GB^2=\left(\dfrac{2}{3}\mu _\beta \right)^2=\dfrac{2\alpha^2+2\gamma ^2-\beta ^2}{9}$ και $G\Gamma ^2=\left(\dfrac{2}{3}\mu _\gamma \right)^2=\dfrac{2\alpha^2+2\beta ^2-\gamma ^2}{9}.$ οπότε εύκολα βρίσκουμε $\boxed{\beta ^2+\gamma ^2=5\alpha ^2}$ $\left(\bigstar \right)$
Η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε είναι ισοδύναμη με την

$2\left(\dfrac{\sin A}{\sin B}\cos B+\dfrac{\sin A}{\sin \Gamma }\cos \Gamma \right)=\cos A$

και λόγω των νόμων ημιτόνου και συνημιτόνου με την

$2\left(\dfrac{\alpha }{\beta }\dfrac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2 }{2\alpha \gamma }+\dfrac{\alpha }{\gamma }\dfrac{a^2+\beta ^2-\gamma ^2}{2\alpha \beta } \right)=\dfrac{\beta ^2+\gamma ^2-\alpha ^2}{2\beta \gamma }$

η οποία είναι ισοδύναμη με την $\left(\bigstar \right)$

$\beta )$ Από το νόμο των συνημιτόνων και την $\left(\bigstar \right)$

$\cos A=\dfrac{\beta ^2+\gamma ^2-\alpha ^2}{2\beta \gamma }=\dfrac{4}{5}\dfrac{\beta ^2+\gamma ^2}{2\beta \gamma }\geq \dfrac{4}{5}.$

parmenides51 · #8

stranton έγραψε:Ζήτημα 5ο. Να δειχθεί η ταυτότητα: $A\equiv\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2x-y}{y\sqrt{3}}+\textnormal{\gr τοξ}_o\textnormal{\gr εφ}\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}={\color{red}\dfrac{\pi}{3}}$ με $x\neq 0 , y\neq 0 .$

edit: Στο φυλλάδιο που έχω, γράφει $\dfrac{\pi}{4} ,$ αλλά όπως φαίνεται και από την παρακάτω λύση, του Κώστα, είναι $\dfrac{\pi}{3} .$

αξίζει να αναφερθεί πως και στο Δελτίο του Πάλλα, την έχει λυμένη με $\dfrac{\pi}{4} ,$ (λάθος πράξεις έκαναν κι αυτοί)
αλλά μάλλον τους ξέφυγε, ούτε εκείνοι πρόσεξαν οτι έβγαινε $\dfrac{\pi}{3}$ .

Κώστα που το πρόσεξες

Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1977 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση