ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Από σημείο $\displaystyle{O}$ εκτός κύκλου Κ άγονται τέμνουσα $\displaystyle{OAB}$ και εφαπτομένη του $\displaystyle{O\Gamma}$ .
Αν $\displaystyle{M}$ το μέσο του τόξου $\displaystyle{AB}$ και αν τα σημεία $\displaystyle{\Gamma, M}$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $\displaystyle{OAB}$ ,
να δειχτεί οτι το τρίγωνο $\displaystyle{O\Gamma \Delta}$ , όπου $\displaystyle{\Delta}$ η τομή της $\displaystyle{\Gamma M}$ με την $\displaystyle{OAB}$ , είναι ισοσκελές.

2. Έστω σημείο $\displaystyle{O}$ στο εσωτερικό του αμβλυγωνίου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
Αν οι ευθείες $\displaystyle{BO ,\Gamma O}$ τέμνουν τις $\displaystyle{A\Gamma ,AB}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{\Delta ,E}$ να δειχτεί ότι $\displaystyle{B\Delta + \Gamma E>BE + E\Delta + \Delta \Gamma}$

3. Αν η ορθή προβολή ορθής γωνίας πάνω σε επίπεδο είναι γωνία ορθή,
τότε μία τουλάχιστον από τις πλευρές της προβαλλόμενης γωνίας είναι παράλληλη προς το επίπεδο προβολής.

Για καθαρά ιστορικούς λόγους ας δούμε και τις αυθεντικές εκφωνήσεις από εδώ

Ζήτημα πρώτον
Έκ του σημείου όμικρον έκτός κύκλου κάπα κειμένου άγονται τέμνουσα όμικρον άλφα βήτα και έφαπτoμενη όμικρον γάμμα αυτού . Αν μί το μέσον του τόξου άλφα βήτα και αν τά σημεία γάμμα και μί εύρίσκονται έκατέρωθεν της όμικρον άλφα βήτα να δειχθή ότι το τρίγωνο όμικρον γάμα δέλτα , όπου δέλτα η τομή της γάμμα μί μετά της όμικρον άλφα βήτα , είναι ίσοσκελές .

Ζήτημα δεύτερον
Έστω όμικρον σημείον είς το έσωτερικόν του έχοντος άμβλείαν την γωνίαν άλφα τρίγωνον άλφα βήτα γάμμα .Έάν αί ευθείαι βήτα όμικρον και γάμμα όμικρον τέμνουν τάς άλφα γάμμα και άλφα βήτα άντιστοίχως είς τα σημεία δέλτα και έψιλον , να δειχθή ότι : Βήτα δέλτα συν γάμμα έψιλον μεγαλύτερον του βήτα έψιλον σύν έψιλον δέλτα σύν δέλτα γάμμα .

Ζήτημα τρίτον
Αν η ορθή προβολή όρθής γωνίας έπί έπιπέδου είναι γωνία ορθή , τότε μία τουλάχιστον άπό τάς πλευράς της προβαλλόμενης γωνίας είναι παράλληλος προς το έπίπεδον προβολής .

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:1. Από σημείο $\displaystyle{O}$ εκτός κύκλου Κ άγονται τέμνουσα $\displaystyle{OAB}$ και εφαπτομένη του $\displaystyle{O\Gamma}$ .
Αν $\displaystyle{M}$ το μέσο του τόξου $\displaystyle{AB}$ και αν τα σημεία $\displaystyle{\Gamma, M}$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $\displaystyle{OAB}$ ,
να δειχτεί οτι το τρίγωνο $\displaystyle{O\Gamma \Delta}$ , όπου $\displaystyle{\Delta}$ η τομή της $\displaystyle{\Gamma M}$ με την $\displaystyle{OAB}$ , είναι ισοσκελές.

Η $\widehat {\Delta \Gamma {\rm O}}$ είναι γωνία χορδής $\left( {{\rm M}\Gamma } \right)$ και εφαπτομένης $\left( {{\rm O}\Gamma } \right)$ , έτσι:

$\displaystyle{\widehat {\Delta \Gamma {\rm O}} = \frac{{\tau o\xi {\rm M}\Gamma }}{2} \Rightarrow \widehat {\Delta \Gamma {\rm O}} = \frac{{\tau o\xi {\rm M}{\rm A} + \tau o\xi {\rm A}\Gamma }}{2}}$ (1)

Η $\widehat {\Gamma \Delta {\rm A}}$ σχηματίζεται από τις τεμνόμενες χορδές ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm M}\Gamma$ , έτσι:

$\displaystyle\widehat {\Gamma \Delta {\rm A}} = \frac{{\tau o\xi {\rm M}{\rm B} + \tau o\xi {\rm A}\Gamma }}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{\tau o\xi {\rm M}{\rm B} = \tau o\xi {\rm M}{\rm A}} \widehat {\Gamma \Delta {\rm A}} = \frac{{\tau o\xi {\rm M}{\rm A} + \tau o\xi {\rm A}\Gamma }}{2}$ (2)

Από (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι $\widehat {\Delta \Gamma {\rm O}} = \widehat {\Gamma \Delta {\rm A}}$ , δηλαδή το τρίγωνο ${\rm O}\Gamma \Delta$ είναι ισοσκελές.

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Έστω σημείο $\displaystyle{O}$ στο εσωτερικό του αμβλυγωνίου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
Αν οι ευθείες $\displaystyle{BO ,\Gamma O}$ τέμνουν τις $\displaystyle{A\Gamma ,AB}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{\Delta ,E}$ να δειχτεί ότι $\displaystyle{B\Delta + \Gamma E>BE + E\Delta + \Delta \Gamma}$
.

: Ευελπίδων 72.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Αφού $\widehat A > {1^L}$ πολύ περισσότερο οι γωνίες ${\widehat a_1}\,\,,\,\,{\widehat a_2}$ θα είναι αμβλείες.
Θα έχουμε λοιπόν :
$\left. \begin{gathered} OB > BE \hfill \\ OC > DC \hfill \\ OE + OD > ED \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow BD + CE > BE + ED + DC$

Φιλικά Νίκος

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε:3. Αν η ορθή προβολή ορθής γωνίας πάνω σε επίπεδο είναι γωνία ορθή,
τότε μία τουλάχιστον από τις πλευρές της προβαλλόμενης γωνίας είναι παράλληλη προς το επίπεδο προβολής.

: ask72.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Έστω $x\hat{O}y$ η γωνία και

η προβολή του

στο επίπεδο με OO'>0

.

Αν και οι δύο ευθείες των πλευρών της γωνίας τέμνουν το επίπεδο , τότε θα σχηματίζεται ένα τετράεδρο OO'AB

, όπου $A\;,\;B$ τα σημεία τομής των ευθειών των πλευρών της γωνίας με το επίπεδο (Η γωνίας $A\hat{O}B$ στο σχήμα είναι μία από τις τέσσερις γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες των πλευρών της γωνίας).

Έτσι έχουμε τα ορθογώνια τρίγωνα $\overset{\triangle}{OO'A}$ , $\overset{\triangle}{OO'B}$ , $\overset{\triangle}{OAB}$ και $\overset{\triangle}{O'AB}$ .

Άρα AB^2=OA^2+OB^2=OO'^2+O'A^2+OO'^2+O'B^2=2OO'^2+AB^2

, άρα

, ΑΤΟΠΟ.

#5

parmenides51 έγραψε:1. Από σημείο $\displaystyle{O}$ εκτός κύκλου Κ άγονται τέμνουσα $\displaystyle{OAB}$ και εφαπτομένη του $\displaystyle{O\Gamma}$ .
Αν $\displaystyle{M}$ το μέσο του τόξου $\displaystyle{AB}$ και αν τα σημεία $\displaystyle{\Gamma, M}$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $\displaystyle{OAB}$ ,
να δειχτεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{O\Gamma \Delta}$ , όπου $\displaystyle{\Delta}$ η τομή της $\displaystyle{\Gamma M}$ με την $\displaystyle{OAB}$ , είναι ισοσκελές.
.

: ΦΣΜ_72.png (30.03 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

Γεια σας.
Χάριν πλουραλισμού.

Φέρνουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο

που τέμνει την

στο σημείο

.

Προφανώς το τρίγωνο TMC

ισοσκελές με κορυφή το

. Επειδή το

μέσο του τόξου $\overset{\frown}{AB}$ η ακτίνα

θα είναι ταυτόχρονα κάθετη στην

εφαπτομένη

και στη χορδή

. Συνεπώς

και άρα και το τρίγωνο OCD

ισοσκελές .

Φιλικά Νίκος

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση