ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογιστεί η $\displaystyle{\varepsilon \phi \frac{\alpha}{2}}$ από την $\displaystyle{\varepsilon \phi \alpha}$ και να ερμηνευτεί το αποτέλεσμα στον τριγωνομετρικό κύκλο.

2. α) Να αποδείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\eta \mu A+\eta \mu B +\eta \mu \Gamma =4 \sigma \upsilon \nu \frac{A}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{B}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma}{2}}$ .
β) (Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση αλλά χωρίς αυτό να είναι υποχρεωτικό) να αποδείξετε οτι
$\displaystyle{\sqrt{\alpha\eta \mu A }+\sqrt{\beta \eta \mu B }+\sqrt{\gamma \eta \mu \Gamma }=2\sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)\sigma \upsilon \nu \frac{A}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{B}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma}{2}}}$

3. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\widehat{B}> \widehat{\Gamma} }$ και $\displaystyle{2\sigma \upsilon \nu^2 A=\sigma \upsilon \nu^2 B + \sigma \upsilon \nu^2 \Gamma}$ .
Να υπολογιστούν συναρτήσει της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ οι άλλες δυο γωνίες του τριγώνου.
Χρησιμοποιήστε, χωρίς να είναι υποχρεωτικό, τον τύπο του $\displaystyle{ {\color{red}\sigma \upsilon \nu a}}$ συναρτήσει του $\displaystyle{ {\color{red}\sigma \upsilon \nu 2a}}$ .

Για καθαρά ιστορικούς λόγους ας δούμε και τις αυθεντικές εκφωνήσεις από εδώ

Ζήτημα πρώτον
Να ύπολογισθή η έφαπτομένη άλφα δεύτερα έκ της έφαπτομένης άλφα και να έρμηνευθή το έξαγόμενον έπί του τριγωνομετρικού κύκλου .

Ζήτημα δεύτερον
Άποδείξατε ότι διά κάθε τρίγωνο άλφα βήτα γάμμα ίσχύει η σχέσις : Ήμίτονον άλφα και ήμίτονον βήτα και ήμίτονον γάμμα ίσον τέσσαρα έπί συνημίτονον άλφα δεύτερα έπί συνημίτονον βήτα δεύτερα έπί συνημίτονον γάμμα δεύτερα .Χρησιμοποιούντες την άνωτέρω σχέσιν , χωρίς αυτό να είναι ύποχρεωτικόν αποδείξατε ότι : Τετραγωνική ρίζα του γινομένου άλφα μικρόν έπί ήμίτονον άλφα κεφαλαίον και τετραγωνική ρίζα του γινομένου γάμμα μικρόν έπί ήμίτονον γάμμα κεφαλαίον ίσον δύο έπί την τετραγωνικήν της παραστάσεως : Παρένθεσις άλφα μικρόν και βήτα μικρόν και γάμμα μικρόν κλείει η παρένθεσις έπί συνημίτονον του άλφα κεφαλαίον δεύτερα έπί συνημίτονον του βήτα κεφαλαίον δεύτερα έπί συνημίτονον του γάμμα κεφαλαίον δεύτερα . Η παράστασις : Παρένθεσις άλφα μικρόν και βήτα μικρόν και γάμμα μικρόν κλείει η παρένθεσις έπί συνημίτονον του άλφα κεφαλαίον δεύτερα έπί συνημίτονον του βήτα κεφαλαίον δεύτερα έπί συνημίτονον του γάμμα κεφαλαίον δεύτερα είναι ολόκληρος ύπό το ριζικόν .

Ζήτημα τρίτον
Είς τρίγωνον άλφα βήτα γάμμα η γωνία βήτα είναι μεγαλυτέρα της γάμμα και ίσχύει η σχέσις : Δύο έπί συνημίτονον τετράγωνον του άλφα ίσον συνημίτονον τετράγωνον του βήτα και συνημίτονον τετράγωνον του γάμμα . Να υπολογισθούν έκ της γωνίας άλφα αί δύο άλλαι γωνίαι του τριγώνου . Χρησιμοποιήσατε , χωρίς αύτό να είναι ύποχρεωτικόν , την έκφρασιν του συνημιτόνου τόξου διά του συνημιτόνου του διπλασίου του τόξου .

edit
Διόρθωση μετάφρασης διευκρίνισης στο 3ο θέμα, θενξ Ορέστη

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:2. α) Να αποδείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\eta \mu A+\eta \mu B +\eta \mu \Gamma =4 \sigma \upsilon \nu \frac{A}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{B}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma}{2}}$ .
β) (Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση αλλά χωρίς αυτό να είναι υποχρεωτικό) να αποδείξετε οτι
$\displaystyle{\sqrt{\alpha\eta \mu A }+\sqrt{\beta \eta \mu B }+\sqrt{\gamma \eta \mu \Gamma }=2\sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)\sigma \upsilon \nu \frac{A}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{B}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma}{2}}}$

α) $\displaystyle\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma = \eta \mu {\rm A} + 2\eta \mu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2} \Rightarrow$

$\displaystyle\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma = 2\eta \mu \frac{{\rm A}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2} + 2\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\rm A}}{2}} \right)\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2} \Rightarrow$

$\displaystyle\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma = 2\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}\left( {\eta \mu \frac{{\rm A}}{2} + \sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}} \right) \Rightarrow$

$\displaystyle\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma = 2\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}\left( {\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}} \right) + \sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}} \right) \Rightarrow$

$\displaystyle\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma = 2\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}} \right) + \sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}} \right) \Rightarrow$

$\displaystyle\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma = 4\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2} + \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2} - \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}}}{2} \Rightarrow$

$\displaystyle\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma = 4\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm B}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma }{2}$ (1)

β) $\displaystyle 2\sqrt {\left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm B}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma }{2}} \mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \sqrt {\left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)\left( {\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma } \right)}$ (2)

Από νόμο ημιτόνων είναι: $\displaystyle{\alpha = 2R\eta \mu {\rm A},\;\;\beta = 2R\eta \mu {\rm B},\;\;\gamma = 2R\eta \mu \Gamma }$ όπου $\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε:

$\displaystyle 2\sqrt {\left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm B}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\Gamma }{2}} \mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \sqrt {2R{{\left( {\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma } \right)}^2}} =$

$\displaystyle\sqrt {2R} \left( {\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma } \right) = \sqrt {2R} \eta \mu {\rm A} + \sqrt {2R} \eta \mu {\rm B} + \sqrt {2R} \eta \mu \Gamma \mathop = \limits^{\nu .\;\eta \mu \iota \tau \dot o\nu \omega \nu }$

$\displaystyle\sqrt {\frac{\alpha }{{\eta \mu {\rm A}}}} \eta \mu {\rm A} + \sqrt {\frac{\beta }{{\eta \mu {\rm B}}}} \eta \mu {\rm B} + \sqrt {\frac{\gamma }{{\eta \mu \Gamma }}} \eta \mu \Gamma = \sqrt {\alpha \eta \mu {\rm A}} + \sqrt {\beta \eta \mu {\rm B}} + \sqrt {\gamma \eta \mu \Gamma }$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση