ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Σε μη ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ η γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ είναι $\displaystyle{60^o}$ .
Να αποδείξετε οτι οι κορυφές $\displaystyle{B,\Gamma}$ , το περίκεντρο $\displaystyle{O}$ , το έκκεντρο $\displaystyle{I}$ και το ορθόκεντρο $\displaystyle{H}$ είναι ομοκυκλικά .
Στη συνεχεία να δείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{OIH}$ είναι ισοσκελές .

2. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις $\displaystyle{30}$ και $\displaystyle{4 {\color{red}0}}$ cm στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από μια κορυφή του
και είναι παράλληλη προς την απέναντι σε αυτήν διαγώνιο του . Να υπολογισθεί o όγκος του σχηματιζόμενου στερεού.

3. Δίνονται δύο τόξα $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ . Αν $\displaystyle{\eta \mu^ 2\alpha =\frac{3+2\varepsilon {{\phi }^{2}}\beta }{1+5\varepsilon {{\phi }^{2}}\beta }}$ , να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\eta \mu^ 2\beta = \frac{3+2\varepsilon {{\phi }^{2}}\alpha }{1+5\varepsilon {{\phi }^{2}}\alpha }}$ κι αντίστροφα .

4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A} = 90^o}$ ισχύει $\displaystyle{2\beta = \alpha +\gamma}$ .
Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών του τριγώνου .

edit
Διόρθωση αριθμητικού στο 2ο, ευχαριστώ τον Ορέστη

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Σε μη ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ η γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ είναι $\displaystyle{60^o}$ .
Να αποδείξετε οτι οι κορυφές $\displaystyle{B,\Gamma}$ , το περίκεντρο $\displaystyle{O}$ , το έκκεντρο $\displaystyle{I}$ και το ορθόκεντρο $\displaystyle{H}$ είναι ομοκυκλικά .
Στη συνεχεία να δείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{OIH}$ είναι ισοσκελές .

εδώ κι εδώ

pito · #3

4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A} = 90^o}$ ισχύει $\displaystyle{2\beta = \alpha +\gamma}$ .
Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών του τριγώνου .[/quote]

Από το νόμο συνημιτόνων είναι $\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2a\beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow (2\beta -a)^{2}=a^{2}+\beta ^{2}-2a\beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \Gamma =\frac{\beta (4a-3\beta )}{2a\beta }\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \Gamma =2-\frac{3}{2}\frac{\beta }{\alpha } (1)$

Όμως είναι και $\frac{\beta }{a}=\sigma \upsilon \nu \Gamma$ και η σχέση (1) γίνεται $\displaystyle 2-\frac{3}{2}\sigma \upsilon \nu \Gamma =\sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \Gamma =0,8$

Από τον τριγωνομετρικό πίνακα προκύπτει γωνία $\Gamma =38^{o}$ , άρα και γωνία $B=90^{o}-38^{o}=52^{o}$

gauss1988 · #4

parmenides51 έγραψε:3. Δίνονται δύο τόξα $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ . Αν $\displaystyle{\eta \mu^ 2\alpha =\frac{3+2\varepsilon {{\phi }^{2}}\beta }{1+5\varepsilon {{\phi }^{2}}\beta }}$ , να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\eta \mu^ 2\beta = \frac{3+2\varepsilon {{\phi }^{2}}\alpha }{1+5\varepsilon {{\phi }^{2}}\alpha }}$ κι αντίστροφα .

$\displaystyle{\sin^2 a=\frac{3+2tan^2 \beta}{1+5\tan^2 \beta}\Leftrightarrow 1-cos^2 a=\frac{3+2(\frac{1}{cos^2 \beta}-1)}{1+5(\frac{1}{cos^2 \beta}-1)}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{1-\frac{1}{1+tan^2 a}=\frac{1+\frac{2}{cos^2 \beta}}{-4+\frac{5}{cos^2 \beta}}\Leftrightarrow \frac{1}{1+tan^2 \beta}=1-\frac{cos^2 \beta +2}{5-4cos^2 \beta}\Leftrightarrow \frac{1}{1+tan^2 \beta}=\frac{3-5cos^2 \beta}{5-4cos^2 \beta}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{1+tan^2 a=\frac{5-4cos^2 \beta}{3-5cos^2 \beta}=\frac{5-4(1-sin^2 \beta )}{3-5(1-sin^2 \beta)}=\frac{1+4sin^2\beta}{5sin^2 \beta -2}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(1+tan^2 a )(5sin^2 \beta -2)=1+4sin^2 \beta \Leftrightarrow sin^2 \beta =\frac{3+2tan^2 a}{1+5tan^2 a}}$

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:2. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις $\displaystyle{30}$ και $\displaystyle{4 {\color{red}0}}$ cm στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από μια κορυφή του
και είναι παράλληλη προς την απέναντι σε αυτήν διαγώνιο του . Να υπολογισθεί o όγκος του σχηματιζόμενου στερεού.

με τυχαίες διαστάσεις : εκφώνηση + λύση

ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση