ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα που αφορά την έκφραση του τετραγώνου
του μήκους διαμέσου τριγώνου συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.
(1ο Θεώρημα Διαμέσων)

2. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{O}$ το περίκεντρο του .
Φέρνουμε τις $\displaystyle{OB,O\Gamma}$ και τον κύκλο που διέρχεται από τα $\displaystyle{B,\Gamma}$ και εφάπτεται στις $\displaystyle{OB}$ και $\displaystyle{O\Gamma}$ .
Να δειχτεί ότι για κάθε σημείο $\displaystyle{M}$ του κύκλου αυτού ισχύει $\displaystyle{MA^2=MB^2+M\Gamma^2}$

3. Να δειχτεί σε κανονικό τετράεδρο ότι οι ευθείες που διέρχονται από τις $\displaystyle{3}$ κορυφές του
και από το μέσο του ύψους που άγεται από την $\displaystyle{4}$ η κορυφή του τέμνονται κάθετα ανά δυο.

KARKAR · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{O}$ το περίκεντρο του .
Φέρνουμε τις $\displaystyle{OB,O\Gamma}$ και τον κύκλο που διέρχεται από τα $\displaystyle{B,\Gamma}$ και εφάπτεται στις $\displaystyle{OB}$ και $\displaystyle{O\Gamma}$ .
Να δειχτεί ότι για κάθε σημείο $\displaystyle{M}$ του κύκλου αυτού ισχύει $\displaystyle{MA^2=MB^2+M\Gamma^2}$

: 1972.png (26.93 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

Αν

το κέντρο του κύκλου , εύκολα από γωνίες προκύπτει ότι BCK

ισόπλευρο .

Η συνέχεια ανατίθεται ( δις ) στο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα BCM

και

με διάμεσο την

.

#3

parmenides51 έγραψε:3. Να δειχτεί σε κανονικό τετράεδρο ότι οι ευθείες που διέρχονται από τις $\displaystyle{3}$ κορυφές του
και από το μέσο του ύψους που άγεται από την $\displaystyle{4}$ η κορυφή του τέμνονται κάθετα ανά δυο.

: ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ.png (12 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Στο κανονικό τετράεδρο, όλες οι έδρες είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. Έστω $\displaystyle{a}$ η ακμή του.

Τα τρίγωνα $\displaystyle{ABK}$ και $\displaystyle{A\Gamma K}$ είναι προφανώς ίσα και άρα θα έχουν ίσες και τις άντίστοιχες διαμέσους.

Άρα $\displaystyle{BM=M\Gamma}$ .

Αφού το $\displaystyle{K}$ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου $\displaystyle{B\Gamma \Delta}$ , θα είναι $\displaystyle{\Gamma K=\frac{2}{3}.\frac{a \sqrt{3}}{2}}$

Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AK\Gamma}$ , έχουμε: $\displaystyle{AK^2 =A\Gamma ^2 -\Gamma K^2 \Rightarrow AK^2 =a^2 - (\frac{a\sqrt{3}{3})^2}$

Άρα $\displaystyle{AK=a\sqrt{\frac{2}{3}}}$ και άρα $\displaystyle{MK=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}$ .

Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{MK\Gamma \Rightarrow M\Gamma ^2 =MK^2 +K\Gamma ^2 =\frac{a^2}{4}.\frac{2}[3}+(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 =\frac{a^2}{6}+\frac{a^2}{3}=\frac{a^2}{2}}$

Άρα $\displaystyle{2M\Gamma ^2 =a^2 \Rightarrow M\Gamma ^2 +MB^2 =B\Gamma ^2}$ και άρα το τρίγωνο $\displaystyle{BM\Gamma}$ είναι

ορθογώνιο με $\displaystyle{\widehat{BM\Gamma}=90^{o}}$ .

Συνεπώς οι ευθείες $\displaystyle{BM}$ και $\displaystyle{\Gamma M}$ , τέμνονται καθέτως.

Όμοια δείχνουμε ότι και τα άλλα ζεύγη ευθειών τέμνονται καθέτως.

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση