ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\varepsilon \phi (\nu x) < 1}$ όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός

2. Αν $\displaystyle{\varepsilon \phi x= \frac{\beta -\gamma }{\alpha }},\varepsilon \phi y=\frac{\gamma -\alpha }{\beta }},\varepsilon \phi z=\frac{\alpha -\beta }{\gamma }}$ όπου $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}^*}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\left| \eta \mu x \eta \mu y \eta \mu z \right| \le \frac{1}{2}}$ .

(υπόδειξη: χρησιμοποιήστε, χωρίς να είναι υποχρεωτικό, την ταυτότητα
$\displaystyle{ \varepsilon \phi x + \varepsilon \phi y+ \varepsilon \phi z -\varepsilon \phi x \varepsilon \phi y \varepsilon \phi z = \frac{\eta \mu (x+y+z)}{\sigma \upsilon \nu x \sigma \upsilon \nu y \sigma \upsilon \nu z}}\left)}$

3. Αν $\displaystyle{ -\frac{\pi }{2}}<x<\frac{\pi }{2}}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu^ 2x + \frac{1}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}} >\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x + \varepsilon \phi x }$ .

#2

parmenides51 έγραψε:3. Αν $\displaystyle{ -\frac{\pi }{2}}<x<\frac{\pi }{2}}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu^ 2x + \frac{1}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}} >\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x + \varepsilon \phi x }$ .

Είναι η ανισότητα $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ για τους αριθμούς

$x:= \sigma \upsilon \nu x, \ y:=\varepsilon \phi x , \ z:=1.$

Για την ισότητα θέλουμε x=y=z

δηλαδή $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu x=\varepsilon \phi x =1,}$ αδύνατο.
Οπότε η ανισότητα είναι γνήσια.

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\varepsilon \phi (\nu x) < 1}$ όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός

: Eφαπτομένη.png (13.38 KiB) Προβλήθηκε 1011 φορές

Είναι $\displaystyle{\epsilon \phi \nu x =1 \Leftrightarrow \nu x=2k\pi +\frac{\pi}{4}}$ , ή $\displaystyle{\nu x=2k\pi +\frac{5\pi}{4}}$ , $\displaystyle{k\in Z}$

Άρα $\displaystyle{\epsilon \phi \nu x< 1 \Leftrightarrow 2k\pi +\frac{\pi}{2} <\nu x <2k\pi +\frac{5\pi}{4}}$ , ή

$\displaystyle{2k\pi +\frac{3\pi}{2} <\nu x <2k\pi +\frac{9\pi}{4}}$ , όπου $\displaystyle{k\in Z}$

Συνεπώς: $\displaystyle{x\in (\frac{2k\pi}{\nu}+\frac{\pi}{2\nu} , \frac{2k\pi}{\nu}+\frac{5\pi}{4\nu})U(\frac{2k\pi}{\nu}+\frac{3\pi}{2\nu} , \frac{2k\pi}{\nu}+\frac{9\pi}{4\nu})}$ , $\displaystyle{k\in Z}$

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1971 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση