ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Να βρείτε το σύνολο λύσεων του συστήματος :
2x_1 + x_2 - x_3 + x_4 + x_5 = 1

ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Αν $a, b \in \mathbb{R}, a>0, b>0$ , να βρείτε το
$lim \left( \sqrt{(\nu +a )(\nu +b) } -\nu \right)\,$ για $\, lim \nu = \infty$

ZHTHMA 3o. Να βρείτε το σύνολο των αριθμών

για τους οποίους αληθεύει η ανισότητα :
$\left| f(x) \right| < \left| f(1) \right| \, \,$ , όπου $\, \, f(x)= x^4 - 4x^3 + 6x^2 -4x +5$

ZHTHMA 4o. Αν οι αριθμοί $\, x , y \,$ είναι οι δύο πρώτοι όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ο τέταρτος όρος της υπερβαίνει τον τρίτο κατά 18.
Αν δε οι $\, x \,$ και $\, y \,$ είναι οι δύο πρώτοι όροι αριθμικής προόδου , τότε ο τέταρτος όρος της υπερβαίνει τον δεύτερο κατά 16.
Να βρείτε τους αριθμούς $\, x \,$ και $\, y \,$ .

ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Να λυθεί το σύστημα : $\, \, x^y = y^x \, \, \,$ και $\, \, x^3 = y^3$

BAGGP93 · #2

NIZ έγραψε:
ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Αν $a, b \in \mathbb{R}, a>0, b>0$ , να βρείτε το
$lim \left( \sqrt{(\nu +a )(\nu +b) } -\nu \right)\,$ για $\, lim \nu = \infty$

Πρώτος τρόπος

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}-\nu &=\frac{\left[\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}-\nu\right]\left[\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}+\nu\right]}{\left[\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}+\nu\right]}\\&=\frac{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)-\nu^2}{\left[\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}+\nu\right]}\\&=\frac{\left(a+b\right)\nu+ab}{\left[\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}+\nu\right]}\\&=\displaystyle{\frac{\left(a+b)+\frac{ab}{\nu}}{\sqrt{\left(1+\frac{a}{\nu}\right)\left(1+\frac{b}{\nu}\right)}+1}}\end{aligned}}$

Επομένως,

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\left[\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}-\nu\right]=\lim_{n\to \infty}\frac{\left(a+b)+\frac{ab}{\nu}}{\sqrt{\left(1+\frac{a}{\nu}\right)\left(1+\frac{b}{\nu}\right)}+1}=\frac{a+b}{2}}$

Δεύτερος τρόπος

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}-\nu &=\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}-\nu-a+a\\&=a+\sqrt{\nu+a}\left[\sqrt{\nu+b}-\sqrt{\nu+a}\right]\\&=a+\sqrt{\nu+a}\left[\frac{b-a}{\sqrt{\nu+b}+\sqrt{\nu+a}}\right]\\&=a+\left(b-a\right)\frac{\sqrt{\nu+a}}{\sqrt{\nu+b}+\sqrt{\nu+a}}\\&=a+\left(b-a\right)\frac{\sqrt{1+\frac{a}{n}}}{\sqrt{1+\frac{b}{n}}+\sqrt{1+\frac{a}{n}}}\end{aligned}}$

Έτσι,

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\left[\sqrt{\left(\nu+a\right)\left(\nu+b\right)}-\nu\right]=\lim_{n\to \infty}\left[a+\left(b-a\right)\frac{\sqrt{1+\frac{a}{n}}}{\sqrt{1+\frac{b}{n}}+\sqrt{1+\frac{a}{n}}}\right]=a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}}$

hlkampel · #3

NIZ έγραψε:ZHTHMA 4o. Αν οι αριθμοί $\, x , y \,$ είναι οι δύο πρώτοι όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ο τέταρτος όρος της υπερβαίνει τον τρίτο κατά 18.
Αν δε οι $\, x \,$ και $\, y \,$ είναι οι δύο πρώτοι όροι αριθμικής προόδου , τότε ο τέταρτος όρος της υπερβαίνει τον δεύτερο κατά 16.
Να βρείτε τους αριθμούς $\, x \,$ και $\, y \,$ .

Αν ${\alpha _\nu }$ είναι η Γεωμ. πρόοδος τότε : $\displaystyle{{\alpha _1} = x,\;{\alpha _2} = y}$ και $\displaystyle{\lambda = \frac{y}{x},\;x \ne 0}$

$\displaystyle{\alpha _4} = {\alpha _3} + 18 \Leftrightarrow x \cdot {\left( {\frac{y}{x}} \right)^3} = x \cdot {\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} + 18 \Leftrightarrow {y^3} = x{y^2} + 18{x^2}\;\left( 1 \right)$

Αν ${\beta _\nu }$ είναι η Αριθμ. πρόοδος τότε : $\displaystyle{{\beta _1} = x,\;{\beta _2} = y}$ και $\displaystyle{\omega = y - x}$

${\beta _4} = {\beta _2} + 16 \Leftrightarrow x + 3\left( {y - x} \right) = y + 16 \Leftrightarrow x = y - 8\;\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} {y^3} = \left( {y - 8} \right){y^2} + 18{\left( {y - 8} \right)^2} \Leftrightarrow$

${y^3} = {y^3} - 8{y^2} + 18{y^2} - 288y + 1152 \Leftrightarrow$

$10{y^2} - 288y + 1152 = 0 \Leftrightarrow 5{y^2} - 144y + 576 = 0 \Rightarrow y = 24\;\dot \eta \;y = 4,8$

Αν y = 24

τότε

Αν

τότε

Και τα δύο ζεύγη είναι δεκτά αφού ικανοποιούν τα δεδομένα του προβλήματος.

BAGGP93 · #4

NIZ έγραψε:

ZHTHMA 3o. Να βρείτε το σύνολο των αριθμών για τους οποίους αληθεύει η ανισότητα :
$\left| f(x) \right| < \left| f(1) \right| \, \,$ , όπου $\, \, f(x)= x^4 - 4x^3 + 6x^2 -4x +5$

Λύση

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)&=x^4-4x^3+6x^2-4x+5\\&=\binom{4}{4}\,x^4\,(-1)^{0}+\binom{4}{3}\,x^3\,(-1)+\binom{4}{2}\,x^2\,(-1)^2+\binom{4}{1}\,x^1\,(-1)^3+1+4\\&=\left[\sum_{k=0}^4 \binom{4}{k}\,x^{k}\,(-1)^{4-k}\right]+4\\&=\left(x-1\right)^4+4\end{aligned}}$

Συνεπώς, η δοσμένη ανίσωση γράφεται,

$\displaystyle{\begin{aligned} \left|f(x)\right|<\left|f(1)\right|&\Leftrightarrow \left|\left(x-1\right)^4+4\right|<4\\&\Leftrightarrow \left(x-1\right)^4+4<4\\&\Leftrightarrow \left(x-1\right)^4<0\\&\Leftrightarrow x\in \varnothing\end{aligned}}$

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #6

αλλόκοτο σύστημα, πολύ απλή μου φαίνεται η δεύτερη σχέση ...

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Να λυθεί το σύστημα : $\, \, x^y = y^x \, \, \,$ και $\, \, x^3 = y^3$

$\displaystyle{x^3 = y^3 \Rightarrow x=y}$ αφού η συνάρτηση $\displaystyle{x^3}$ είναι 1-1 στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

οπότε αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{x^y = y^x}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x^x=x^x}$ ,

που είναι ταυτότητα για τις τιμές των $\displaystyle{x,y}$ που ορίζονται οι ποσότητες $\displaystyle{x^y , y^x}$

οπότε πρέπει να έχουν μη αρνητικές βάσεις τα εκθετικά δηλαδή $\displaystyle{x,y>0}$

οπότε το σύστημα έχει λύσεις τα σημεία $\displaystyle{(x,y)=(y,y)=(k,k)}$ με $\displaystyle{k>0}$

(με άλλα λόγια όλα τα σημεία της ημιευθείας $\displaystyle{y=x}$ με $\displaystyle{x>0}$ )

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:αλλόκοτο σύστημα, πολύ απλή μου φαίνεται η δεύτερη σχέση ...

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Να λυθεί το σύστημα : $\, \, x^y = y^x \, \, \,$ και $\, \, x^3 = y^3$
$\displaystyle{x^3 = y^3 \Rightarrow x=y}$ αφού η συνάρτηση $\displaystyle{x^3}$ είναι 1-1 στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

οπότε αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{x^y = y^x}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x^x=x^x}$ ,

που είναι ταυτότητα για τις τιμές των $\displaystyle{x,y}$ που ορίζονται οι ποσότητες $\displaystyle{x^y , y^x}$

οπότε πρέπει να έχουν μη αρνητικές βάσεις τα εκθετικά δηλαδή $\displaystyle{x,y>0}$

οπότε το σύστημα έχει λύσεις τα σημεία $\displaystyle{(x,y)=(y,y)=(k,k)}$ με $\displaystyle{k>0}$

(με άλλα λόγια όλα τα σημεία της ημιευθείας $\displaystyle{y=x}$ με $\displaystyle{x>0}$ )

διαβάζω στο Δελτίο του Πάλλα εκ των υστέρων (μιας και τότε δεν το είχα) πως
έπρεπε να δοθεί με την προσθήκη πως οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι πραγματικοί θετικοί αριθμοί
ειδάλλως θα έπρεπε να λυθεί το σύστημα στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$
γιατί υποτίθεται οτι ''ο μαθητής γνωρίζει πως κάθε μιγαδικός αριθμός έχει λογάριθμο και μάλιστα άπειρους τέτοιους''

αν υπάρχει ενδιαφέρον και δεν την λύσει κάποιος μέσα στην βδομάδα,
ευχαρίστως να αντιγράψω την λύση που βρίσκεται στο σχετικό Δελτίο στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$

ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΣΜΑ 1975 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση