ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta}$ ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους και $\displaystyle{\gamma}$ ακέραιος , να δειχθεί οτι υπάρχει ακέραια λύση στην εξίσωση $\displaystyle{\alpha x + \beta y = \gamma}$ .

2. Αν $\displaystyle{\alpha \beta\gamma \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha+ \beta+\gamma = 2\tau}$ , να δειχθεί ότι :
α) $\displaystyle{\frac{\alpha }{\tau -\alpha }+\frac{\beta }{\tau -\beta }+\frac{\gamma }{\tau -\gamma }= - 2 +\frac{\alpha \beta \gamma }{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}}$
β) αν $\displaystyle{\alpha (\tau \alpha - \alpha )^2 + \beta(\tau \alpha - \beta)^2 + \gamma(\tau \alpha - \gamma)^2 = 0 }$ , τότε $\displaystyle{\frac{{{\alpha }^{3}}}{{{(\tau -\alpha )}^{3}}}+\frac{{{\beta }^{3}}}{{{(\tau -\beta )}^{3}}}}+\frac{{{\gamma }^{3}}}{{{(\tau -\gamma )}^{3}}} = 6 }$

3. Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $\displaystyle{ \lambda_{\nu}}$ των ακεραίων πραγματικών αριθμών που πληρούν την σχέση
$\displaystyle{1 + \rho + \frac{\rho }{{{\lambda }_{\nu }}(1+\rho )}} = 0 }$ , όπου $\displaystyle{\rho}$ καταλλήλως μεταβαλλόμενος ρητός πραγματικός.
Στη συνέχεια να υπολογισθεί το άθροισμα της σειράς $\displaystyle{{\sum{\frac{1}{{{\lambda }_{\nu }}}}}}$ .

#2

parmenides51 έγραψε: 3. Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $\displaystyle{ \lambda_{\nu}}$ των ακεραίων πραγματικών αριθμών που πληρούν την σχέση
$\displaystyle{1 + \rho + \frac{\rho }{{{\lambda }_{\nu }}(1+\rho )}} = 0 }$ , όπου $\displaystyle{\rho}$ καταλλήλως μεταβαλλόμενος ρητός πραγματικός.
Στη συνέχεια να υπολογισθεί το άθροισμα της σειράς $\displaystyle{{\sum{\frac{1}{{{\lambda }_{\nu }}}}}}$ .

Οι δύο πρώτες είναι ασκήσεις ρουτίνας (τις αφήνω) αλλά θα σταθώ στην τρίτη γιατί δεν πρέπει να είναι σωστά διατυπωμένη: Η αναδρομική σχέση δίνει $\frac{1}{\lambda_{\nu} }=$ σταθερό, οπότε η σειρά είναι άθροισμα σταθερών, άρα αποκλίνει για τετριμμένο λόγο. Υπάρχει μήπως τυπογραφικό λάθος ή επειδή είμαι ξενύχτης (φόρτος εργασίας γαρ) δεν βλέπω κάτι;

parmenides51 · #3

νομίζω την αντέγραψα σωστά, ορίστε και το απόκομμα από εφημερίδα της εποχής

: makedonia 5.9.1970.png (11.73 KiB) Προβλήθηκε 1545 φορές

το 2ο θέμα το πήρα από εδώ

#4

parmenides51 έγραψε:
3. Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $\displaystyle{ \lambda_{\nu}}$ των ακεραίων πραγματικών αριθμών που πληρούν την σχέση
$\displaystyle{1 + \rho + \frac{\rho }{{{\lambda }_{\nu }}(1+\rho )}} = 0 }$ , όπου $\displaystyle{\rho}$ καταλλήλως μεταβαλλόμενος ρητός πραγματικός.
Στη συνέχεια να υπολογισθεί το άθροισμα της σειράς $\displaystyle{{\sum{\frac{1}{{{\lambda }_{\nu }}}}}}$ .

Τελικά η άσκηση είναι "σωστή", αλλά κακοδιατυπωμένη (βλέπε το σχόλιο παρακάτω). Γράφω λύση.

Λύνουμε την $\displaystyle{ \lambda _{\nu} \in \mathbb Z }$ όπου $\displaystyle{1 + \rho + \frac{\rho }{{{\lambda }_{\nu }}(1+\rho )}} = 0 , \, (*)}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{\lambda }_{\nu } = \frac {-\rho}{(1+\rho )^2} }$ .

Θέτοντας $\displaystyle{\rho = \frac {a}{b}, \, a\in \mathbb Z, \, b \in \mathbb N^*}$ πρώτοι μεταξύ τους, έχουμε $\displaystyle{\lambda }_{\nu } = \frac {-ab}{(a+b)^2} }$ .
Δεν μπορεί a>0

γιατί

πρώτος προς τους a, b

και δεν τους διαιρεί, οπότε δεν είναι $\displaystyle{ \lambda _{\nu} \in \mathbb Z }$ . Επίσης, από την (*)

δεν μπορεί να είναι a=0

. Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση a<0

. Γράφουμε c=-a >0

οπότε έχουμε

$\displaystyle{\lambda }_{\nu } = \frac {cb}{(c-b)^2} }$ .

Όμως ο c-b

δεν έχει κοινό διαιρέτη με τους c, b

οπότε $c-b=\pm 1$ . Άρα $\displaystyle{\lambda }_{\nu } = \frac {c(c\pm 1)}{1^2} = c(c\pm 1) }$ . Συμπεραίνουμε ότι τελικά o $\displaystyle{\lambda }_{\nu }$ ε'ομαι της μορφής $m(m+1), \, m\in \mathbb N^*$ . 'Αρα

$\displaystyle{{\sum{\frac{1}{{{\lambda }_{\nu }}}}} = \sum _ {m=1}^{\infty} \frac {1}{m(m+1)}= \sum _ {m=1}^{\infty} \left ( \frac {1}{m} - \frac {1}{m+1}\right ) = 1}$ (τηλεσκοπικό).

Φιλικά,

Μιχάλης

Σχόλιο: Η άσκηση είναι κακοδιατυπωμένη κατά τούτο: Οι τιμές του $\rho$ που δίνουν ακέραιο λάμδα είναι μεν άπειρες, αλλά πρέπει να θεωρήσουμε ότι παίρνουμε το κάθε λάμδα που προκύπτει από μία φορά. Μέχρι εδώ, ουδέν μεμπτόν. Μετά όμως πρέπει να θεωρήσουμε ότι τα λάμδα λαμβάνονται με αύξουσα σειρά, $\lambda _1 = 1\cdot 2, \lambda _ 2= 2\cdot 3, ...$ και λοιπά. Αυτό είναι ασθενές σημείο της διατύπωσης.
Υπάρχει ο αντίλογος ότι η σειρά είναι συγκλίνουσα θετικών όρων, άρα κάθε αναδιάταξή της συγκλίνει στο ίδιο όριο (εκτός ύλης Λυκείου ακόμη και το 1970). Όμως αυτό δεν σώζει την κατάσταση γιατί η εκφώνηση όφειλε να καθορίσει την διάταξη των $\lambda _{\nu}$ . Αλλά εν έτη 1970 (οι παλιοί θυμούνται) δεν είμαι τόσο βέβαιος ότι θα μπορούσε κάποιος να διαμαρτυρηθεί για ασάφεια στα θέματα, στον βαθμό που μπορεί σήμερα.

#5

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta}$ ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους και $\displaystyle{\gamma}$ ακέραιος , να δειχθεί οτι υπάρχει ακέραια λύση στην εξίσωση $\displaystyle{\alpha x + \beta y = \gamma}$ .

Είναι γνωστό ότι υπάρχουν $k,l\in \Bbb{Z}$ ώστε ak+bl=(a,b)=1

(λογικά ήταν εντός της ύλης)

οπότε μια λύση της $\displaystyle{a x + by =c }$ είναι η (x,y)=(kc,lc).

#6

parmenides51 έγραψε:2. Αν $\displaystyle{\alpha \beta\gamma \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha+ \beta+\gamma = 2\tau}$ , να δειχθεί ότι :
α) $\displaystyle{\frac{\alpha }{\tau -\alpha }+\frac{\beta }{\tau -\beta }+\frac{\gamma }{\tau -\gamma }= - 2 +\frac{\alpha \beta \gamma }{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}}$
β) αν $\displaystyle{\alpha (\tau \alpha - \alpha )^2 + \beta(\tau \alpha - \beta)^2 + \gamma(\tau \alpha - \gamma)^2 = 0 }$ , τότε $\displaystyle{\frac{{{\alpha }^{3}}}{{{(\tau -\alpha )}^{3}}}+\frac{{{\beta }^{3}}}{{{(\tau -\beta )}^{3}}}}+\frac{{{\gamma }^{3}}}{{{(\tau -\gamma )}^{3}}} = \color{red} 24 }$

α) Αν θέσουμε $a=x+y,\ b=y+z, \ c=z+x$ καταλήγουμε στην ταυτότητα

xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)...

β) Από τη δοθείσα είναι a=b=c

οπότε το ζητούμενο είναι άμεσο (νομίζω θέλει

αντί

.)

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση