ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Πότε μια γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται φθίνουσα; Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της.

2. Να βρείτε το $\displaystyle{\mu}$ στην εξίσωση $\displaystyle{ \mu x^2- 2(\mu-1)x +\mu = 0}$ , ώστε για τις ρίζες της να ισχύει $\displaystyle{\frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}+\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=1}$ .

3. Να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός για τον οποίο ισχύει:
αν αυτός διαιρεθεί με το άθροισμα των ψηφίων του και μετά εναλλαγούν τα ψηφία του
και διαιρεθεί ο αριθμός που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο με το άθροισμα των ψηφίων του,
η μεν διαφορά των δυο σχηματισθέντων πηλίκων θα ισούται με την διαφορά των ψηφίων του ζητούμενου αριθμού,
το δε γινόμενο των πηλίκων αυτών θα ισούται με τον ζητούμενο αριθμό.

gavrilos · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να βρείτε το $\displaystyle{\mu}$ στην εξίσωση $\displaystyle{ \mu x^2- 2(\mu-1)x +\mu = 0}$ , ώστε για τις ρίζες της να ισχύει $\displaystyle{\frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}+\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=1}$ .

$\displaystyle{\Delta =4(\mu -1)^{2}-4\mu ^{2}=4(1-2\mu)}$ .Πρέπει δηλαδή $\displaystyle{\mu \leq \frac{1}{2}}$ .

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι $\displaystyle{x_{1,2}=\frac{2\mu -2\pm 2\sqrt{1-2\mu}}{2\mu}=\frac{-(\sqrt{1-2\mu}\pm 1)^{2}}{2\mu}}$

Άρα πρέπει $\displaystyle{\left(\frac{\sqrt{1-2\mu}-1}{\sqrt{1-2\mu}+1}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{1-2\mu}+1}{\sqrt{1-2\mu}-1}\right)^{2}=1}$ και πολλαπλασιάζοντας με τη συζυγή του παρονομαστή έχουμε

$\displaystyle{\frac{(\sqrt{1-2\mu}-1)^{4}+(\sqrt{1-\mu}+1)^{4}}{4\mu ^{2}}=1}$ .

Με πράξεις έχουμε $\displaystyle{2(1-2\mu)^{2}+12(1-2\mu)+2=4\mu ^{2} \Leftrightarrow 4\mu ^{2}-32\mu +16=0 \Leftrightarrow \mu ^{2}-8\mu +4=0 \Leftrightarrow \mu _{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}=4\pm \sqrt{3}=(\sqrt{3}\pm 1)^{2}}$ .

Κρατάμε όμως μόνο τη λύση $\displaystyle{\mu =(\sqrt{3}-1)^{2}}$ επειδή $\displaystyle{(\sqrt{3}+1)^{2}>\frac{1}{2}}$ .

Άρα $\displaystyle{\mu =(\sqrt{3}-1)^{2}}$ .

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

2. Να βρείτε το $\displaystyle{\mu}$ στην εξίσωση $\displaystyle{ \mu x^2- 2(\mu-1)x +\mu = 0}$ , ώστε για τις ρίζες της να ισχύει $\displaystyle{\frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}+\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}=1}$ .

Λύση

Αν $\displaystyle{\mu=0}$ , τότε η αρχική εξίσωση γράφεται $\displaystyle{2x=0\Leftrightarrow x=0}$

Συνεπώς, θα πρέπει $\displaystyle{\mu\neq 0}$

Για να έχει η δοσμένη εξίσωση δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, θα πρέπει η διακρίνουσα αυτής, να είναι θετική, οπότε,

$\displaystyle{\Delta>0\Leftrightarrow 4\left(\mu-1\right)^2-4\mu^2>0\Leftrightarrow \left(2\mu-2-2\mu\right)\left(2\mu-2+2\mu\right)>0\Leftrightarrow \mu<\frac{1}{2}}$

Άρα, $\displaystyle{\mu\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\frac{1}{2}\right)}$

Οι ρίζες αυτές δίνονται από τον τύπο $\displaystyle{\rho_{1}\,,\rho_{2}=\frac{2\left(\mu-1\right)\pm \sqrt{4-8\mu}}{2\mu}}$ και θα πρέπει,

$\displaystyle{\rho_{1}\neq 0\Leftrightarrow \sqrt{4-8\mu}\neq 2\left(1-\mu\right)\stackrel{1-\mu>0}{\Leftrightarrow} 4-8\mu\neq 2-4\mu+2\mu^2\Leftrightarrow \mu^2+2\mu-1\neq 0\Leftrightarrow \left(\mu+1\right)^2\neq 2\Leftrightarrow \mu\neq -1\pm \sqrt{2}}$

Για την ρίζα $\displaystyle{\rho_{2}=\frac{2\left(\mu-1\right)-\sqrt{4-8\mu}}{2\mu}}$ είναι $\displaystyle{\rho_{2}\neq 0\ \forall \mu\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\frac{1}{2}\right)}$

Χρησιμοποιώντας τους τύπους Vieta, έχουμε ότι,

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}+\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}=1&\Leftrightarrow \frac{\rho_{1}^2+\rho_{2}^2}{\rho_{1}\cdot \rho_{2}}=1\\&\Leftrightarrow \left(\rho_{1}+\rho_{2}\right)^2-2\rho_{1}\cdot \rho_{2}=\rho_{1}\cdot \rho_{2}\\&\Leftrightarrow \left(\rho_{1}+\rho_{2}\right)^2=3\rho_{1}\cdot r\ho_{2}\\&\Leftrightarrow \left(\frac{2\left(\mu-1\right)}{\mu}\right)^2=3\\&\Leftrightarrow 4\left(\mu-1\right)^2=3\mu^2\\&\Leftrightarrow 4\mu^2-8\mu+4=3\mu^2\\&\Leftrightarrow \mu^2-8\mu+4=0\\&\Leftrightarrow \left(\mu-4\right)^2=12\\&\Leftrightarrow \mu-4=2\sqrt{3}\ \lor \mu-4=-2\sqrt{3}\\&\Leftrightarrow \mu=4+2\sqrt{3}\ \lor \mu=4-2\sqrt{3}\end{aligned}}$

Δεκτή είναι η τιμή $\displaystyle{\mu=4-2\sqrt{3}}$

edit:Με πρόλαβε ο gavrilos.Την αφήνω για τον κόπο

#4

parmenides51 έγραψε:3. Να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός για τον οποίο ισχύει:
αν αυτός διαιρεθεί με το άθροισμα των ψηφίων του και μετά εναλλαγούν τα ψηφία του
και διαιρεθεί ο αριθμός που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο με το άθροισμα των ψηφίων του,
η μεν διαφορά των δυο σχηματισθέντων πηλίκων θα ισούται με την διαφορά των ψηφίων του ζητούμενου αριθμού,
το δε γινόμενο των πηλίκων αυτών θα ισούται με τον ζητούμενο αριθμό.

Δεν είμαι σίγουρος ότι κατάλαβα την εκφώνηση, αλλά νομίζω ότι εννοεί το επόμενο...

Αν $\overline{ab}$ είναι ο ζητούμενος αριθμός τότε

$\displaystyle{ \left| \frac{\overline{ab}}{a+b}-\frac{\overline{ba}}{b+a} \right|=|b-a| }$

και

$\displaystyle{\frac{\overline{ab}}{a+b}\cdot \frac{\overline{ba}}{b+a}=\overline{ab}}$

Από τη δεύτερη σχέση έχουμε, $\overline{ba}=(a+b)^2$ οπότε $\overline{ba}=16,25,36,49,64,81$ και μόνο η $\overline{ba}=81$ επαληθεύει (και τις δύο συνθήκες).

Άρα $\overline{ab}=18.$

#5

parmenides51 έγραψε:3. Να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός για τον οποίο ισχύει:
αν αυτός διαιρεθεί με το άθροισμα των ψηφίων του και μετά εναλλαγούν τα ψηφία του
και διαιρεθεί ο αριθμός που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο με το άθροισμα των ψηφίων του,
η μεν διαφορά των δυο σχηματισθέντων πηλίκων θα ισούται με την διαφορά των ψηφίων του ζητούμενου αριθμού,
το δε γινόμενο των πηλίκων αυτών θα ισούται με τον ζητούμενο αριθμό.

Αλλιώς:

Γράφουμε $\displaystyle{\overline{ab}=(a+b)\pi_1+u_1 \ (*)}$ και $\displaystyle{\overline{ba}=(a+b)\pi_2+u_2 \ (**)}$ όπου $\displaystyle{0\leq u_1,u_2 <a+b.}$

Είναι

$\displaystyle{|\pi_1-\pi_2|=|b-a|}$ και $\displaystyle{\pi_1\pi_2=\overline{ab}.}$

Από (*)

και

έχουμε $\displaystyle{11(a+b)=(a+b)(\pi_1+\pi_2)+u_1+u_2}$ οπότε a+b|u_1+u_2

και επειδή $0\leq u_1+u_2<2(a+b)$ θα είναι u_1+u_2=0

ή

--Αν

τότε $\displaystyle{|\pi_1-\pi_2|=|b-a| \implies (b-a)(a+b-9)=0}$ και $\displaystyle{\pi_1\pi_2=\overline{ab}\implies \overline{ba}=(a+b)^2.}$

Η περίπτωση a=b

απορρίπτεται, οπότε $\displaystyle{\overline{ba}=(a+b)^2=81}$ και $\overline{ab}=18.$

--Αν u_1+u_2=a+b

τότε $\displaystyle{\pi_1+\pi_2=10}$ οπότε $\displaystyle{(\pi_1,\pi_2)=(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1).}$

Για κάθε ζεύγος υπολογίζουμε το $\overline{ab}=\pi_1\pi_2.$ Τα μόνα που ικανοποιούν τη συνθήκη $\displaystyle{|\pi_1-\pi_2|=|b-a|}$ είναι τα $\displaystyle{(4,6)}$ και (6,4)

Τότε $\displaystyle{\overline{ab}=24.}$ Όμως $\displaystyle{u_1+u_2=0}$ οπότε δεν έχουμε λύσεις σε αυτήν την περίπτωση.

ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση