ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

parmenides51 · #1

1. α) Τι ονομάζεται γραφική παράσταση συνάρτησης;
Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $\displaystyle{y= \alpha x + \beta \,\, , \alpha \ne 0}$ .
β) Σε αριθμητική πρόοδο ο πρώτος όρος είναι ο $\displaystyle{\log \alpha}$ και ο δεύτερος όρος της ο $\displaystyle{\log \beta}$ .
Να δειχθεί ότι το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma_{\nu}}$ των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της είναι $\displaystyle{\Sigma_{\nu}=\frac{1}{2}\log \frac{{{\beta }^{\nu (\nu -1)}}}{{{\alpha }^{\nu (\nu -3)}}}}$ .

2. α) Η εσωτερική διχοτόμος τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα ανάλογα των σε αυτά προσκειμένων
πλευρών του τριγώνου. (Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου)
β) Έστω $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ τα σημεία τομής της $\displaystyle{B\Gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ με την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της $\displaystyle{\widehat{A}}$ αντίστοιχα .
Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{2}{B \Gamma }=\frac{1}{B \Delta }+\frac{1}{BE}}$ θεωρώντας τα μήκη προσημασμένα.

3. α) Να γράψετε το $\displaystyle{\eta \mu \omega}$ και το $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega}$ συναρτήσει της $\displaystyle{\varepsilon \phi \omega}$ .
β) Αν $\displaystyle{\omega,\phi }$ οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου να δειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \phi\frac{\omega }{2}+\varepsilon \phi \frac{\phi }{2}+\varepsilon \phi\frac{\omega }{2}\varepsilon \phi \frac{\phi }{2} = 1}$ .

Σχόλιο:
Το ερώτημα 1β. ξανάπεσε 5 χρόνια μετά στις εξετάσεις του Φυσικομαθηματικού - Γεωπονοδασολογικού Κύκλου το 1975 εδώ

edit
Συμπλήρωση της ελλειπούς εκφώνησης στο ερώτημα 2β βασιζόμενος σε σχόλιο εφημερίδας της εποχής.
Με την μορφή που ζητήθηκε η εκφώνηση δεν ίσχυε πάντα το ζητούμενο πάρα μόνο όταν $\displaystyle{AB>A\Gamma}$ .
Ευχαριστώ τον Ηλία (Καμπελή) που με έβαλε να διασταυρώσω την εκφώνηση από άλλη πηγή.

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:3. α) Να γράψετε το $\displaystyle{\eta \mu \omega}$ και το $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega}$ συναρτήσει της $\displaystyle{\varepsilon \phi \omega}$ .
β) Αν $\displaystyle{\omega,\phi }$ οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου να δειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \phi\frac{\omega }{2}+\varepsilon \phi \frac{\phi }{2}+\varepsilon \phi\frac{\omega }{2}\varepsilon \phi \frac{\phi }{2} = 1}$ .

α) $\displaystyle\eta {\mu ^2}\omega = \frac{{\varepsilon {\varphi ^2}\omega }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\omega }}$ και $\displaystyle\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega = \frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\omega }}$

β) $\displaystyle{\omega + \varphi = 90^\circ \Leftrightarrow \frac{\omega }{2} = 45^\circ - \frac{\varphi }{2}\;\left( 1 \right)}$

$\displaystyle\varepsilon \varphi \frac{\omega }{2} + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} + \varepsilon \varphi \frac{\omega }{2}\varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \varepsilon \varphi \left( {45^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right) + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}\varepsilon \varphi \left( {45^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right) =$

$\displaystyle\frac{{1 - \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}}{{1 + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}} + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}\frac{{1 - \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}}{{1 + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}} =$

$\displaystyle\displaystyle\frac{{1 - \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} + \varepsilon {\varphi ^2}\frac{\varphi }{2} + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2} - \varepsilon {\varphi ^2}\frac{\varphi }{2}}}{{1 + \varepsilon \varphi \frac{\varphi }{2}}} = 1$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:2. α) Η εσωτερική διχοτόμος τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα ανάλογα των σε αυτά προσκειμένων πλευρών του τριγώνου. (Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου)
β) Έστω $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ τα σημεία τομής της $\displaystyle{B\Gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ με την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της $\displaystyle{\widehat{A}}$ αντίστοιχα .
Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{2}{B \Gamma }=\frac{1}{B \Delta }+\frac{1}{BE}}$ θεωρώντας τα μήκη προσημασμένα.

α) Θεωρία

β) Αν ${\rm A}{\rm B} > {\rm A}\Gamma$ , τότε από Θεώρημα εσωτερικής και θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου έχουμε αντίστοιχα:

$\displaystyle\frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{\Delta \Gamma + {\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma + {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma + {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}}\;\left( 1 \right)$ και

$\displaystyle\frac{{{\rm E}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm E}\Gamma - {\rm B}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma - {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{{{\rm B}{\rm E} - {\rm E}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}{\rm B} - {\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}{\rm B} - {\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}}\;\left( 2 \right)$

Από $\displaystyle\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} + \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{2{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{:{\rm B}\Gamma } \frac{1}{{{\rm B}\Delta }} + \frac{1}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{2}{{{\rm B}\Gamma }}$

Αν ${\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gamma$ , τότε με το ίδιο τρόπο έχουμε

$\displaystyle\displaystyle\frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{\Delta \Gamma + {\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma + {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma + {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}}\;\left( 1 \right)$ και

$\displaystyle\frac{{{\rm E}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm E}\Gamma - {\rm B}{\rm E}}}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma - {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma - {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}}\;\left( 2 \right)$

$\displaystyle\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} - \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{{2{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{:{\rm B}\Gamma } \frac{1}{{{\rm B}\Delta }} - \frac{1}{{{\rm B}{\rm E}}} = \frac{2}{{{\rm B}\Gamma }}$

edit: Προστέθηκε η δεύτερη περίπτωση.
Ευχαριστώ τον parm για την ειδοποίηση και τις συμβουλές του.
Τα προσημασμένα ήταν η αιτία

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέλη σε σύνδεση