ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Αν δύο τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{A'B'\Gamma'}$ έχουν τις γωνίες $\displaystyle{\widehat{A}}$ και $\displaystyle{\widehat{A'}}$ ίσες ή παραπληρωματικές,
τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με τον λόγο των πλευρών οι οποίες τις περιέχουν .

2. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνον $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
Έστω $\displaystyle{I}$ το κέντρον του εγγεγραμμένου κύκλου και $\displaystyle{I_1,I_2,I_3}$ τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων στις γωνίες του τριγώνου
και εφαπτόμενων του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
Να δειχθεί ότι το άθροισμα των μηκών των κύκλων $\displaystyle{I_1,I_2,I_3}$ ισούται με το μήκος του κύκλου $\displaystyle{I}$ .

3. Έστω $\displaystyle{\Gamma}$ το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{ \Delta}$ το σημείον τομής της $\displaystyle{A\Gamma}$ και της εφαπτομένης στο $\displaystyle{B}$ .
Έστω $\displaystyle{(\kappa)}$ το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου του περιεχομένου μεταξύ της χορδής $\displaystyle{AB}$ και του τόξου $\displaystyle{A\Gamma}$ ,
$\displaystyle{(\lambda)}$ το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου του απομένοντος αν από το ημικύκλιο αφαιρεθεί το $\displaystyle{(\kappa)}$
και $\displaystyle{(\mu)}$ το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου του προκύπτοντος αν από το τρίγωνον $\displaystyle{AB\Delta}$ αφαιρεθεί το $\displaystyle{(\lambda)}$ .
Να δειχθεί ότι αν περιστρέψουμε το επίπεδο γύρω από την $\displaystyle{AB}$ ,
οι όγκοι των παραγομένων στερεών από τα $\displaystyle{(\kappa) ,(\lambda) , (\mu)}$ είναι ανάλογοι των αριθμών $\displaystyle{1 ,3 , 5}$ .

edit
Διόρθωση παρανόησης μου στο 2ο θέμα, σωστός πάλι ο Γιώργης

#2

2. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνον $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
Έστω $\displaystyle{I}$ το κέντρον του εγγεγραμμένου κύκλου και $\displaystyle{I_1,I_2,I_3}$ τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων στις γωνίες του τριγώνου
και εφαπτόμενων του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
Να δειχθεί ότι το άθροισμα των μηκών των κύκλων $\displaystyle{I_1,I_2,I_3}$ ισούται με το μήκος του κύκλου $\displaystyle{I}$ .

Λύση
Λόγω συμμετρίας οι τρεις μικροί κύκλοι είναι ίσοι . Τότε :
$\displaystyle{L = {L_1} + {L_2} + {L_3} \Leftrightarrow L = 3{L_1} \Leftrightarrow 2\pi R = 6\pi r \Leftrightarrow R = 3r}$
Αρκεί , λοιπόν , να δειχθεί ότι $\displaystyle{\,\,\,R = 3r\,\,\,\,}$
Επειδή $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm T}{\rm B}\Pi } = {30^0}\,\,\,\,}$ , έχουμε :
$\displaystyle{\,\,{\rm T}{\rm B} = 2{\rm T}\Pi = 2r\,\,\,\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,\,\Delta {\rm B} = 2\Delta {\rm Z} = 2R\,\,\,\,}$ .
Επομένως : $\displaystyle{\,\,\,\Delta {\rm B} = 2\Delta {\rm Z} \Leftrightarrow R + 3r = 2R \Leftrightarrow R = 3r\,\,\,\,\,}$

kostas_zervos · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Έστω $\displaystyle{\Gamma}$ το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{ \Delta}$ το σημείον τομής της $\displaystyle{A\Gamma}$ και της εφαπτομένης στο $\displaystyle{B}$ .
Έστω $\displaystyle{(\kappa)}$ το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου του περιεχομένου μεταξύ της χορδής $\displaystyle{A\color{red}\Gamma}$ και του τόξου $\displaystyle{A\Gamma}$ ,
$\displaystyle{(\lambda)}$ το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου του απομένοντος αν από το ημικύκλιο αφαιρεθεί το $\displaystyle{(\kappa)}$
και $\displaystyle{(\mu)}$ το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου του προκύπτοντος αν από το τρίγωνον $\displaystyle{AB\Delta}$ αφαιρεθεί το $\displaystyle{(\lambda)}$ .
Να δειχθεί ότι αν περιστρέψουμε το επίπεδο γύρω από την $\displaystyle{AB}$ ,
οι όγκοι των παραγομένων στερεών από τα $\displaystyle{(\kappa) ,(\lambda) , (\mu)}$ είναι ανάλογοι των αριθμών $\displaystyle{1 ,3 , 5}$ .

: ask86.PNG (6.78 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου και

η ακτίνα του.

Όταν το ημικύκλιο περιστραφεί γύρω από την

παράγεται μια σφαίρα κέντρου

και ακτίνας

.
Όταν το τρίγωνο $\overset{\triangle}{A\Gamma O}$ περιστραφεί γύρω από την

παράγεται ένα κώνος με ακτίνα βάσης

και ύψος

.

Όταν το τρίγωνο $\overset{\triangle}{A\Delta B}$ περιστραφεί γύρω από την

παράγεται ένα κώνος με ακτίνα βάσης $B\Delta=2R$ (γιατί

μέσο

και $O\Gamma\parallel B\Delta$ ) και ύψος AB=2R

.

Ο όγκος του στερεού που παράγεται από την περιστροφή του $(\kappa)$ είναι ίσος με τη διαφορά του όγκου του ημισφαιρίου που παράγεται από το τόξο $A\Gamma$ και του κώνου που έχει ακτίνα βάσης

και ύψος

.

Άρα $V_{\kappa}=\dfrac{1}{2}\dfrac{4}{3}\pi R^3-\dfrac{1}{2}\pi R^2R=\dfrac{\pi R^3}{3}$ .

Ο όγκος του στερεού που παράγεται από την περιστροφή του $(\lambda)$ είναι ίσος με τη διαφορά του όγκου της σφαίρας και του $V_{\kappa}$ .

Άρα $V_{\lambda}=\dfrac{4}{3}\pi R^3-V_{\kappa}=\dfrac{4}{3}\pi R^3-\dfrac{\pi R^3}{3}=\pi R^3$ .

Ο όγκος του στερεού που παράγεται από την περιστροφή του $(\mu)$ είναι ίσος με τη διαφορά του όγκου του κώνου που έχει ακτίνα βάσης

και ύψος

και του $V_{\lambda}$ .

Άρα $V_{\mu}=\dfrac{1}{3}\pi (2R)^2\cdot 2R-V_{\lambda}=\dfrac{5\pi R^3}{3}$ .

Άρα $\dfrac{V_{\kappa}}{1}=\dfrac{\pi R^3}{3}$ , $\dfrac{V_{\lambda}}{3}=\dfrac{\pi R^3}{3}$ και $\dfrac{V_{\mu}}{5}=\dfrac{\dfrac{5\pi R^3}{3}}{5}=\dfrac{\pi R^3}{3}$ .

Επομένως: $\dfrac{V_{\kappa}}{1}=\dfrac{V_{\lambda}}{3}=\dfrac{V_{\mu}}{5}$ .

ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΓΕΩΠΟΝΟΔΑΣΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση