ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Αν δυο τρίεδρες στερεές γωνίες $\displaystyle{Oxyz , O'x'y'z'}$ έχουν την δίεδρο γωνία $\displaystyle{\widehat{yOxz} =\alpha}$ ίση με την δίεδρο $\displaystyle{\widehat{y'O'x'z'} =\alpha'}$
και τις περιεχόμενες επίπεδες γωνίες ίσες , δηλαδή $\displaystyle{ \widehat{yOx}\,= \widehat{\Gamma} =\widehat{{y}'{O}'{x}'}}\,= \widehat{{\Gamma' }}$ και $\displaystyle{\widehat{zOx}\,= \widehat{B}=\widehat{{z}'{O}'{x}'}\,= \widehat{{B' }}$ ,
τότε θα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα και θα είναι ίσες ή η μια θα ισούται με την κατακορυφήν της άλλης, δηλαδή θα είναι συμμετρικές.

2. Δίνονται τρεις ομοεπίπεδοι κύκλοι $\displaystyle{(K),(\Lambda),(M)}$ .
Έστω $\displaystyle{(x_1) , (x_2)}$ οι εξωτερικές εφαπτόμενες των $\displaystyle{(K),(\Lambda)}$ , έστω $\displaystyle{(y_1) ,(y_2)}$ οι εξωτερικές εφαπτόμενες των $\displaystyle{(\Lambda),(M)}$
και έστω $\displaystyle{(\phi_1) , (\phi_2)}$ οι εξωτερικές εφαπτόμενες των $\displaystyle{(K),,(M)}$ .
Να δειχθεί ότι , αν οι $\displaystyle{(x_1) , (y_1) , (\phi_1)}$ τέμνονται σε ένα σημείο τότε θα τέμνονται και οι $\displaystyle{(x_2) , (y_2) , (\phi_2)}$ σε ένα σημείο .

3. Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(\Lambda)}$ και σημείον $\displaystyle{P}$ .
Αν από το $\displaystyle{P}$ φέρουμε τέμνουσα , η οποία τέμνει τους κύκλους $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(\Lambda)}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ και ισχύει $\displaystyle{ PA = PB}$ ,
να βρεθεί σε ποία περιοχή βρίσκεται το $\displaystyle{P}$ .

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

#3

orestisgotsis έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(\Lambda)}$ και σημείον $\displaystyle{P}$ .
Αν από το $\displaystyle{P}$ φέρουμε τέμνουσα , η οποία τέμνει τους κύκλους $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(\Lambda)}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ και ισχύει $\displaystyle{ PA = PB}$ ,
να βρεθεί σε ποία περιοχή βρίσκεται το $\displaystyle{P}$ .
Μία τέμνουσα έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο, άρα έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Οι κύκλοι ταυτίζονται, οπότε το $\displaystyle{P}$ θα βρίσκεται στο μέσο της χορδής $\displaystyle{AB}$ , δηλαδή στο εσωτερικό των κύκλων.
β) Οι κύκλοι τέμνονται με κοινή χορδή την $\displaystyle{AB}$ και το $\displaystyle{P}$ στο μέσο της, δηλαδή στο κοινό τους μέρος, άρα πάλι στο εσωτερικό τους.

Αυτά βλέπω.

Χαιρετώ τον φίλο Ορέστη.

Εκτός από την δική σου παρατήρηση, μπορούμε να βρούμε το σημείο

, και στην περίπτωση που οι κύκλοι δεν τέμνονται
και ο τόπος στον οποίο γενικά βρίσκεται το

, είναι (δεν έχω κάνει βέβαια την πλήρη διερεύνιση και ίσως κάτι να μου διαφεύγει) ο κύκλος με κέντρο το μέσον της διακέντρου των δύο δοσμένων κύκλων και ακτίνα

, ίση με την ακτίνα των δοσμένων κύκλων, όπως στο σχήμα.
Το να γράψω την απόδειξη, βλέπω ότι έχει λίγο φασαρία, αν όμως δεν την γράψει κάποιο από τα μέλη μας , θα επανέλθω, δίνοντας αυτήν που έχω κάνει.
Παραθέτω δύο σχήματα, όπου φαίνεται ο ζητούμενος τόπος για δύο περιπτώσεις:

: ΣΧΗΜΑ 1.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 942 φορές

: ΣΧΗΜΑ 2.png (7.92 KiB) Προβλήθηκε 942 φορές

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση