ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να αναφέρετε τον τρόπο επίλυσης της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha \sigma \upsilon \nu x + \beta \eta \mu x = \gamma}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πραγματικοί αριθμοί .

2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{K= \alpha \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma + \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu A + {\color{red}\gamma}\sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B}$ ,
μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει του εμβαδού του $\displaystyle{E}$ και της ακτίνας $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου .

3. Να δείξετε σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{0\le \sigma \upsilon \nu A\sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma\le \frac{1}{8}}$

Υ.Γ. Με επιφύλαξη για την παράσταση στο 2ο, ίσως να είναι συμμετρική δηλαδή
$\displaystyle{K= \alpha \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma + \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu A + \gamma \sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B}$

edit's
1. προσθήκη του μη στο 3ο θέμα με βάση υπάρχουσα λύση και σχετικό σχόλιο του Τηλέμαχου (Κεφαλονίτη)
2. διόρθωση του συντελεστή στο 2ο, σύμφωνα με το υστερόγραφο και τις παρακάτω λύσεις

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να αναφέρετε τον τρόπο επίλυσης της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha \sigma \upsilon \nu x + \beta \eta \mu x = \gamma}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πραγματικοί αριθμοί .

θεωρία

parmenides51 έγραψε:3. Να δείξετε σε κάθε μη αμβλυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{0\le \sigma \upsilon \nu A\sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma\le \frac{1}{8}}$

εδώ

#3

2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{K= \alpha \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma + \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu A + \beta \sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B}$ , μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει του εμβαδού του $\displaystyle{E}$ και της ακτίνας $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου .

Υ.Γ. Με επιφύλαξη για την παράσταση στο 2ο, ίσως να είναι συμμετρική δηλαδή
$\displaystyle{K= \alpha \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma + \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu A + \gamma \sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B}$

Λύση
Υποθέτω ότι είναι τελικά συμμετρική

$\displaystyle{\begin{array}{l} K = \alpha \sigma \upsilon \nu B\sigma \upsilon \nu \Gamma + \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu A + \gamma \sigma \upsilon \nu A\sigma \upsilon \nu B = \\ \\ = 2R\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \Gamma + 2R\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} + 2R\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \\ \\ = 2R\sigma \upsilon \nu \Gamma (\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B} + \eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu {\rm A}) + 2R\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \\ \\ = 2R\sigma \upsilon \nu \Gamma \eta \mu ({\rm A} + {\rm B}) + 2R\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B} = 2R\sigma \upsilon \nu \Gamma \eta \mu \Gamma + 2R\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \\ = 2R\eta \mu \Gamma (\sigma \upsilon \nu \Gamma + \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B}) = 2R\eta \mu \Gamma [ - \sigma \upsilon \nu ({\rm A} + {\rm B}) + \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B}] = \\ \\ = 2R\eta \mu \Gamma [ - \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B} + \eta \mu {\rm A}\eta \mu {\rm B} + \sigma \upsilon \nu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B}] = 2R\eta \mu \Gamma \eta \mu {\rm A}\eta \mu {\rm B} = \\ \\ = 2R\frac{\alpha }{{2R}}\frac{\beta }{{2R}}\frac{\gamma }{{2R}} = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{4{R^2}}} = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{4R}}\frac{1}{R} = \frac{{\rm E}}{R}\,\,\,\,\,\, \\ \end{array}}$

#4

parmenides51 έγραψε:
2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{K= \alpha \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma + \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu A +{ \color{red}\gamma} \sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B}$ , μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει του εμβαδού του $\displaystyle{E}$ και της ακτίνας $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου .

$\textnormal{\gr Κ=α συνΒ συνΓ+β συνΓ συνΑ+γ συνΑ συν Β}$

$K= 2R(\textnormal{\gr ημΑ συνΒ συνΓ+ημΒ συνΓ συνΑ+ημΓ συνΑ συν Β})$

$K= 2R\Big(\textnormal{\gr συνΒ(ημΑ συνΓ+ημΓ συνΑ )+ημΒ συνΓ συνΑ}\Big)$

$K= 2R\Big(\textnormal{\gr συνΒ(ημ(Α+Γ) )+ημΒ συνΓ συνΑ}\Big)$

$K= 2R\Big(\textnormal{\gr -συν(Α+Γ)ημΒ +ημΒ συνΓ συνΑ}\Big)$

$K= 2R\Big(\textnormal{\gr ημΑ ημΒ ημΓ }\Big)$

$K=2R\dfrac{a\beta\gamma}{8R^3}=\dfrac{E}{R}$

edit
έχει απαντήσει ο Γιώργης, την αφήνω όμως για τον κόπο μου

parmenides51 · #5

μάλλον τελικά ήταν συμμετρική (μου το είπε και ο Τηλέμαχος)
σας δίνω και την πηγή μου εδώ
μάλλον είχε τυπογραφικό
το διορθώνω παραπάνω

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1969 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση