ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Ιστοσελίδα · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Να λυθεί η εξίσωσις: $\textnormal{\gr ημ}2x+\textnormal{\gr ημ}6x=2\textnormal{\gr ημ}4x .$

ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να ευρεθεί το εμβαδόν

ισοσκελούς τραπεζίου $AB\varGamma\varDelta$ του
οποίου η μεγάλη βάσις

είναι $10\mu,$ η μικρή βάσις $\varGamma\varDelta$ είναι $2\mu$
και η παρά την βάσιν γωνία $\varDelta\widehat{A}B$ είναι $75^\circ.$

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Εάν εις τρίγωνον $AB\varGamma$ αληθεύει η σχέσις: $\beta=\alpha+\nu\cdot\gamma,$
τότε θα αληθεύει και η σχέσις: $\nu\cdot\textnormal{\gr ημ}B\cdot\textnormal{\grσφ}\frac{B-A}{2}=1+\nu\cdot\textnormal{\gr συν}B .$

hlkampel · #2

stranton έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Να λυθεί η εξίσωσις: $\textnormal{\gr ημ}2x+\textnormal{\gr ημ}6x=2\textnormal{\gr ημ}4x .$

$\eta \mu 2x + \eta \mu 6x = 2\eta \mu 4x \Leftrightarrow \eta \mu 6x - \eta \mu 4x = \eta \mu 4x - \eta \mu 2x \Leftrightarrow$

$2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu 5x = 2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu 3x \Leftrightarrow \eta \mu x\left( {\sigma \upsilon \nu 5x - \sigma \upsilon \nu 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\eta \mu x = 0\left( 1 \right)\quad \dot \eta \quad \sigma \upsilon \nu 5x - \sigma \upsilon \nu 3x = 0\left( 2 \right)$

Από (1) είναι $x = 2\kappa \pi \;\dot \eta \;x = 2\kappa \pi + \pi ,\;\kappa \in {\rm Z}$ δηλαδή $x = \mu \cdot \pi ,\;\mu \in {\rm Z}$

Από (2) είναι: $\sigma \upsilon \nu 5x = \sigma \upsilon \nu 3x \Leftrightarrow 5x = 2\lambda \pi + 3x\;\dot \eta \;5x = 2\lambda \pi - 3x \Leftrightarrow$

$\displaystyle x = \lambda \pi \;\dot \eta \;x = \frac{{\lambda \pi }}{4},\lambda \in {\rm Z}$

hlkampel · #3

stranton έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να ευρεθεί το εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου $AB\varGamma\varDelta$ του
οποίου η μεγάλη βάσις είναι $10\mu,$ η μικρή βάσις $\varGamma\varDelta$ είναι $2\mu$
και η παρά την βάσιν γωνία $\varDelta\widehat{A}B$ είναι $75^\circ.$

Αν $\Delta {\rm Z} \bot {\rm A}{\rm B}$ και $\Delta {\rm H} \bot {\rm A}{\rm B}$ τότε ${\rm Z}{\rm H} = \Gamma \Delta = 2$ και (εύκολα) ${\rm A}{\rm Z} = {\rm H}{\rm B} = 4$

$\displaystyle\varepsilon \varphi 75^\circ = \varepsilon \varphi \left( {45^\circ + 30^\circ } \right) = \frac{{\varepsilon \varphi 45^\circ + \varepsilon \varphi 30^\circ }}{{1 - \varepsilon \varphi 45^\circ \varepsilon \varphi 30^\circ }} =$

$\displaystyle\frac{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{12 + 6\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow$

$\varepsilon \varphi 75^\circ = 2 + \sqrt 3$

Από το ορθ. τρίγωνο ${\rm A}{\rm Z}\Delta$ είναι:

$\displaystyle\varepsilon \varphi 75^\circ = \frac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} \Rightarrow 2 + \sqrt 3 = \frac{{\Delta {\rm Z}}}{4} \Rightarrow \Delta {\rm Z} = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)$

$\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = \frac{{{\rm A}{\rm B} + \Gamma \Delta }}{2} \cdot \Delta {\rm Z} \Leftrightarrow \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = 24\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\tau .\mu .}$

#4

stranton έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Εάν εις τρίγωνον $AB\varGamma$ αληθεύει η σχέσις: $\beta=\alpha+\nu\cdot\gamma,$
τότε θα αληθεύει και η σχέσις: $\nu\cdot\textnormal{\gr ημ}B\cdot\textnormal{\grσφ}\frac{B-A}{2}=1+\nu\cdot\textnormal{\gr συν}B .$

$\textnormal{\gr β=α+νγ}\Rightarrow \textnormal{\gr ημΒ=ημΑ+ν ημΓ}\Rightarrow \textnormal{\gr ημΒ-ημΑ=ν ημΓ}\Rightarrow\boxed{ \eta\mu\dfrac{B-A}{2}=\nu\sigma\upsilon\nu\dfrac{\Gamma}{2}},\bigstar$
=================================================
$\nu\cdot\textnormal{\gr ημ}B\cdot\textnormal{\grσφ}\frac{B-A}{2}=1+\nu\cdot\textnormal{\gr συν}B$
=================================================
αρκεί να δείξουμε

$\nu\eta\mu B\cdot \sigma\upsilon\nu\dfrac{B-A}{2}=\eta\mu\dfrac{B-A}{2}+\nu \eta\mu\dfrac{B-A}{2}\cdot \sigma\upsilon\nu B$

δηλαδή

$\nu\Big(\cancel{\eta\mu \dfrac{3B-A}{2}}+\eta\mu \dfrac{B+A}{2}\Big)=2\eta\mu\dfrac{B-A}{2}+\nu \Big(\cancel{\eta\mu \dfrac{3B-A}{2}}-\eta\mu \dfrac{B+A}{2}\Big)$

δηλαδή

$\eta\mu\dfrac{B-A}{2}=\nu \eta\mu \dfrac{B+A}{2}$ , που ισχύει από $\bigstar$ ,αφού $\eta\mu \dfrac{B+A}{2}=\sigma\upsilon\nu\dfrac{\Gamma}{2}$

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1972 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση