Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Αν

είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου ABC

, $\,\, AA', BB', CC'$ οι διχοτόμοι του και

το εμβαδόν του τριγώνου A'B'C'

, να δειχτεί ότι :

$\displaystyle\frac{E}{E'}=\frac{2abc}{(a +b)(b +c)(c+a)}$ , όπου BC = a, CA =b , AB=c

ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Αν σε ένα τρίγωνο ABC

, η απόσταση

του κέντρου

του εγγεγραμμένου κύκλου από την κορυφή

, είναι μέση ανάλογος των αποστάσεων

και

του

από τις κορυφές

και

αντιστοίχως, να δείξετε ότι :
$\displaystyle \sin^2\frac{A}{2}=\sin\frac{B}{2}\cdot\sin\frac{C}{2}$

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να λυθεί το σύστημα :

$\displaystyle \frac{\tan x}{\tan y}+ \frac{\tan y}{\tan z} +\frac{\tan z}{\tan x} = 3$

$\displaystyle \frac{\tan y}{\tan x}+ \frac{\tan z}{\tan y} +\frac{\tan x}{\tan z} = 3$

$\tan x +\tan y+\tan z =3$

ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Σε τρίγωνο ABC

φέρνουμε στο

κάθετη προς την

, στο

κάθετη προς την

και στο

κάθετη προς την

. Οι τρεις αυτές κάθετες σχηματίζουν ένα τρίγωνο A'B'C'

. Να δείξετε την ισότητα:

$\displaystyle \frac{(A'B'C')}{(ABC)}=(\cot A +\cot B +\cot C)^2$

ΖΗΤΗΜΑ 5ο.
α) Να δειχτεί ότι : $\displaystyle \tan a =\frac {1}{\tan a}-\frac{2}{\tan 2a}$
β) Να υπολογισθεί το άθροισμα : $\Sigma = \tan a +2\tan 2a+4\tan 4a+\cdots + 2^n \tan 2^n a$

#2

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να λυθεί το σύστημα :

$\displaystyle \frac{\tan x}{\tan y}+ \frac{\tan y}{\tan z} +\frac{\tan z}{\tan x} = 3$

$\displaystyle \frac{\tan y}{\tan x}+ \frac{\tan z}{\tan y} +\frac{\tan x}{\tan z} = 3$

$\tan x +\tan y+\tan z =3$

Για ευκολία θέτουμε $:\quad \displaystyle \frac{\tan x}{\tan y}=a,\quad \frac{\tan y}{\tan z} =b,\quad \frac{\tan z}{\tan x} = c,\quad a,b,c\neq 0$

έχουμε $\begin{cases} a+b+c=3\quad (I)\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3 \quad (II)\\ abc=1\quad (III) \end{cases}$

$(II)\Rightarrow \dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{c}=3\Rightarrow (3-c)c+\dfrac{1}{c}=3\Rightarrow c=1$

άρα $\begin{cases} a+b=2\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2\\ ab=1 \end{cases}$ τώρα βρίσκουμε a=b=1

Επομένως $\tan x=\tan y=\tan z=1$ ικανοποιούν το αρχικό αύστημα

$x=k\pi +\frac{\pi}{4},y=l\pi+\frac{\pi}{4},z=m\pi +\frac{\pi}{4},\quad k.l.m \in \mathbb Z$

kostas_zervos · #3

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Αν είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου , $\,\, AA', BB', CC'$ οι διχοτόμοι του και το εμβαδόν του τριγώνου , να δειχτεί ότι :

$\displaystyle\frac{E}{E'}=\frac{2abc}{(a +b)(b +c)(c+a)}$ , όπου

: ask91.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Έχουμε $\dfrac{(AC'B')}{(ABC)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AC'\cdot AB'\sin A}{\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\sin A}=\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}\cdot\dfrac{bc}{a+c}}{bc}=\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}$ άρα $(AC'B')=\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}\cdot E$ .

Όμοια $(BC'A')=\dfrac{ac}{(b+c)(b+a)}\cdot E$ και $(CA'B')=\dfrac{ab}{(c+a)(c+b)}\cdot E$ .

Άρα E'=E-(AC'B')-(BC'A')-(CA'B')=

$=E-\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}\cdot E-\dfrac{ac}{(b+c)(b+a)}\cdot E-\dfrac{ab}{(c+a)(c+b)}\cdot E=$

$=\cdots=\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\cdot E$ .

Άρα $\displaystyle\frac{E}{E'}=\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ .

kostas_zervos · #4

NIZ έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 5ο.
α) Να δειχτεί ότι : $\displaystyle \tan a =\frac {1}{\tan a}-\frac{2}{\tan 2a}$
β) Να υπολογισθεί το άθροισμα : $\Sigma = \tan a +2\tan 2a+4\tan 4a+\cdots + 2^n \tan 2^n a$

α) $\dfrac{1}{\tan a}-\dfrac{2}{\tan 2a}=\dfrac{1}{\tan a}-\dfrac{2}{\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}}=\dfrac{1}{\tan a}-\dfrac{1-\tan^2a}{\tan a}=\dfrac{\tan^2a}{\tan a}=\tan a$ .
β)Εφαρμόζοντας το (α) έχουμε :

$\Sigma = \tan a +2\tan 2a+4\tan 4a+\cdots + 2^n \tan 2^n a=$
$=\dfrac{1}{\tan a}-\cancel{\dfrac{2}{\tan 2a}}+\cancel{\dfrac{2}{\tan 2a}}-\cancel{\dfrac{2^2}{\tan 2^2a}}+\cancel{\dfrac{2^2}{\tan 2^2a}}-\cancel{\dfrac{2^3}{\tan 2^3a}}+\cdots+$
$+\cancel{\dfrac{2^n}{\tan 2^na}}-\dfrac{2^{n+1}}{\tan 2^{n+1}a}=\tan a-\dfrac{2^{n+1}}{\tan 2^{n+1}a}$ .

#5

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Αν σε ένα τρίγωνο , η απόσταση του κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου από την κορυφή , είναι μέση ανάλογος των αποστάσεων και του από τις κορυφές και αντιστοίχως, να δείξετε ότι :
$\displaystyle \sin^2\frac{A}{2}=\sin\frac{B}{2}\cdot\sin\frac{C}{2}$

: ΣΜΑ.png (15.7 KiB) Προβλήθηκε 1149 φορές

Από την υπόθεση, είναι: $\displaystyle{KA^2 =KB.KC}$ , (1)

Από τον νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{KAB}$ και $\displaystyle{KAC}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\frac{KA}{sin\frac{B}{2}}=\frac{KB}{sin{A}{2}}}$

$\displaystyle{\frac{KA}{sin\frac{C}{2}}=\frac{KC}{sin\frac{A}{2}}$

Άρα:

$\displaystyle{KA=\frac{sin\frac{B}{2}}{sin\frac{A}{2}}.KB}$

$\displaystyle{KA=\frac{sin\frac{C}{2}}{sin\frac{A}{2}}.KC}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη κκαι λόγω και της (1) έχουμε το ζητούμενο.

gavrilos · #6

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να λυθεί το σύστημα :

$\displaystyle \frac{\tan x}{\tan y}+ \frac{\tan y}{\tan z} +\frac{\tan z}{\tan x} = 3$

$\displaystyle \frac{\tan y}{\tan x}+ \frac{\tan z}{\tan y} +\frac{\tan x}{\tan z} = 3$

$\tan x +\tan y+\tan z =3$

Προσθέτουμε τις δύο πρώτες σχέσεις κατά μέλη και έχουμε $\displaystyle{\frac{\tan y+\tan z}{\tan x}+\frac{\tan x+\tan y}{\tan z}+\frac{\tan x+\tan z}{\tan y}=6}$ απ' όπου προκύπτει με βάση την τρίτη σχέση ότι $\displaystyle{\frac{3}{\tan x}+\frac{3}{\tan y}+\frac{3}{\tan z}=9}$ .

Τώρα,με βάση την ανισότητα Andreescu έχουμε $\displaystyle{\frac{3}{\tan x}+\frac{3}{\tan y}+\frac{3}{\tan z}\geq \frac{(3\sqrt{3})^{2}}{\tan x+\tan y+\tan z}=\frac{27}{3}=9}$ .

Αφού λοιπόν ισχύει η ισότητα θα έχουμε $\displaystyle{\tan x=\tan y=\tan z \Rightarrow 3\tan x=3 \Leftrightarrow \tan x=\tan y=\tan z=1=\tan \frac{\pi}{4}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{x=\kappa \pi+\frac{\pi}{4} \ , \ y=\lambda \pi +\frac{\pi}{4} \ , \ z=\nu \pi +\frac{\pi}{4}}$ .

Edit:Τώρα μόλις είδα ότι έχει λυθεί.

Το αφήνω επειδή το έλυσα με άλλο τρόπο.

Math Rider · #7

NIZ έγραψε:
ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Σε τρίγωνο φέρνουμε στο κάθετη προς την , στο κάθετη προς την και στο κάθετη προς την . Οι τρεις αυτές κάθετες σχηματίζουν ένα τρίγωνο . Να δείξετε την ισότητα:

$\displaystyle \frac{(A'B'C')}{(ABC)}=(\cot A +\cot B +\cot C)^2$

: Σ.Μ.Α. 1975 Τριγωνομετρία 4ο.png (19.65 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές

Τα τρίγωνα $\displaystyle{ ABC }$ και $\displaystyle{ A'B'C' }$ έχουν ίσες γωνίες, και φέροντας τα ύψη $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$
του τριγώνου $\displaystyle{ ABC }$ , προκύπτουν και τα όμοια τρίγωνα
$\displaystyle{ A'AC }$ και $\displaystyle{ ABE }$ , $\displaystyle{ B'BA }$ και $\displaystyle{ BCZ }$ και $\displaystyle{ C'CB }$ και $\displaystyle{ CAD }$ . Έτσι έχουμε

● $\displaystyle{ \frac{{(A'AC)}}{{(ABC)}} = \frac{{A'C \cdot A'A}}{{AC \cdot AB}} = \cot A\frac{{A'A}}{{AB}} = \cot A\frac{{AC}}{{BE}} = \cot A\frac{{AE + EC}}{{BE}} = \cot A\left( {\frac{{AE}}{{BE}} + \frac{{EC}}{{BE}}} \right) = }$

$\displaystyle{ \cot A(\cot A + \cot C) \Rightarrow \frac{{(A'AC)}}{{(ABC)}} = \cot ^2 A + \cot C\cot A }$ (1)

● $\displaystyle{ \frac{{(B'BA)}}{{(ABC)}} = \frac{{B'A \cdot B'B}}{{BA \cdot BC}} = \cot B\frac{{B'B}}{{BC}} = \cot B\frac{{AB}}{{CZ}} = \cot B\frac{{AZ + ZB}}{{CZ}} = \cot B\left( {\frac{{AZ}}{{CZ}} + \frac{{ZB}}{{CZ}}} \right) = }$

$\displaystyle{ \cot B(\cot A + \cot B) \Rightarrow \frac{{(B'BA)}}{{(ABC)}} = \cot ^2 B + \cot A\cot B }$ (2)

● $\displaystyle{ \frac{{(C'CB)}}{{(ABC)}} = \frac{{C'B \cdot C'C}}{{CB \cdot CA}} = \cot C\frac{{C'C}}{{CA}} = \cot C\frac{{BC}}{{AD}} = \cot C\frac{{BD + DC}}{{AD}} = \cot C\left( {\frac{{BD}}{{AD}} + \frac{{DC}}{{AD}}} \right) = }$

$\displaystyle{ \cot C(\cot B + \cot C) \Rightarrow \frac{{(C'CB)}}{{(ABC)}} = \cot ^2 C + \cot B\cot C }$ (3)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) και (3) έχουμε:

$\displaystyle{ \frac{{(A'AC)}}{{(ABC)}} + \frac{{(B'BA)}}{{(ABC)}} + \frac{{(C'CB)}}{{(ABC)}} = \cot ^2 A + \cot ^2 B + \cot ^2 C + \cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{{(A'AC)}}{{(ABC)}} + \frac{{(B'BA)}}{{(ABC)}} + \frac{{(C'CB)}}{{(ABC)}} + 1 = \cot ^2 A + \cot ^2 B + \cot ^2 C + 2(\cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A) \Rightarrow }$

(γιατί $\displaystyle{ \cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A = 1 }$ )

$\displaystyle{ \frac{{(A'B'C')}}{{(ABC)}} = (\cot A + \cot B + \cot C)^2 }$ .

Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1975 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση