Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

parmenides51 · #1

1. α) Έστω μία συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής σ' ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ .
Αν $\displaystyle{f'(x)>0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο $\displaystyle{x}$ του $\displaystyle{\Delta}$ , να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f }$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\displaystyle{\Delta}$ .
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε :
$\displaystyle{2xf(x)+(x^2+1) f'(x)=e^x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(0)=1}$ .
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}+1}\,\, , x\in \mathbb{R}}$ .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ .

2. α) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} \beta & -1 \\ \beta & -2 \\ \end{matrix} \right]}$ , όπου $\displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}$ .
Αν $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ , θεωρούμε το $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ γραμμικό σύστημα $\displaystyle{AX=\lambda X }$ όπου $\displaystyle{X= \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]}$ είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}$ υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ,
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1 \\ 1 & 2\left| A \right| \\ \end{matrix} \right]}$
και $\displaystyle{\left| A \right| > 0}$ όπου $\displaystyle{\left| A \right|}$ είναι η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{A}$ .
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]}$
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{B=5\mathbb{I} -A}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του $\displaystyle{A}$
και να βρείτε τον πίνακα $\displaystyle{X}$ για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{BX=A}$

3. α) Θεωρούμε συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχή στο $\displaystyle{ \mathbb{R} }$ .
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{3}f(2x+1)dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{7}{f(x)dx}}$
ii) Έστω ότι $\displaystyle{4\int_{0}^{3}f(2x+1)dx = \int_{1}^{7}{f(x)dx}+\text{2004}}}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in (1,7)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(\xi)= 334}$ .
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ που ικανοποιεί την ισότητα
$\displaystyle{\int_{0}^{x}\left( 1+{t^2 \right) f(t) dt ={{x}^{2}}+\int_{0}^{1}{6x\left( t^2+t \right) dt\,\, , x\in \mathbb{R}}$ .
i) Nα αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{2x+5}{{{x}^{2}}+1}}$
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο της $\displaystyle{A (0, f(0))}$ .

4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=x^2-4x+3 \,\, , x \in \mathbb{R}}$ .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)+f(y)=0}$ με $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ και τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega}$ είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και $\displaystyle{X,Y}$ ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε $\displaystyle{X\subseteq Y}$ .
Έστω $\displaystyle{P(X), P(Y)}$ είναι οι πιθανότητες των $\displaystyle{X,Y}$ αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{P(X), P(Y)}$ είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ , με
$\displaystyle{f(x)=4x^3-5x^2+2x+2000\,\, , x \in \mathbb{R}}$ .
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες $\displaystyle{P(X), P(Y)}$
ii) τις πιθανότητες $\displaystyle{P(X\cap Y), P(X\cup Y)}$ και $\displaystyle{P(Y\cap X') }$ όπου $\displaystyle{X'}$ το αντίθετο ενδεχόμενο του $\displaystyle{X}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

1. α) Έστω μία συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής σ' ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ .
Αν $\displaystyle{f'(x)>0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο $\displaystyle{x}$ του $\displaystyle{\Delta}$ , να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f }$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\displaystyle{\Delta}$ .
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε :
$\displaystyle{2xf(x)+(x^2+1) f'(x)=e^x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(0)=1}$ .
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}+1}\,\, , x\in \mathbb{R}}$ .
ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ .

Λύση

α) Θεωρία

β)i) Η δοσμένη γράφεται : $\displaystyle{\left((x^2+1)f(x)\right)'=\left(e^x\right)'\Leftrightarrow (x^2+1)f(x)=e^x+c\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f(x)=\frac{e^x+c}{x^2+1}}$ . Όμως $\displaystyle{f(0)=1\Leftrightarrow \frac{1+c}{1}=1\Leftrightarrow c=0}$ και $\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{x^2+1},~x\in \mathbb R }$ .

ii) Έχουμε : $\displaystyle{f'(x)=\frac{(x^2+1)e^x-2xe^x}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\geq 0}$ .

Η παράγωγος μηδενίζεται μόνο για $\displaystyle{x=1}$ άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb R}$

Γιώργος Απόκης · #3

3. α) Θεωρούμε συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχή στο $\displaystyle{ \mathbb{R} }$ .
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{3}f(2x+1)dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{7}{f(x)dx}}$
ii) Έστω ότι $\displaystyle{4\int_{0}^{3}f(2x+1)dx = \int_{1}^{7}{f(x)dx}+\text{2004}}}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{\xi \in (1,7)}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(\xi)= 334}$ .
β) Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ που ικανοποιεί την ισότητα
$\displaystyle{\int_{0}^{x}\left( 1+{t^2 \right) f(t) dt ={{x}^{2}}+\int_{0}^{1}{6x\left( t^2+t \right) dt\,\, , x\in \mathbb{R}}$ .
i) Nα αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{2x+5}{{{x}^{2}}+1}}$
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο της $\displaystyle{A (0, f(0))}$ .

Λύση

α) i) Έστω $\displaystyle{I=\int_0^3 f(2x+1)dx}$ . Θέτουμε $\displaystyle{u=2x+1\Rightarrow du=2dx}$ και έτσι $\displaystyle{I=\int_1^7 \frac{1}{2}f(u)du=\frac{1}{2}\int_{1}^{7}{f(x)dx}}$ .

ii) Aπό το ερώτημα i) η δοσμένη γράφεται : $\displaystyle{2\int_1^7f(x)dx=\int_1^7f(x)dx+2004\Rightarrow \int_1^7f(x)dx=2004}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{K(x)=\int_1^xf(t)dt}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[1,7]}$ άρα

από το Θ.Μ.Τ (Ο.Λ) υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \mathbb (1,7)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{K'(\xi)=\frac{K(7)-K(1)}{7-1}\Rightarrow f(\xi)=\frac{\int_1^7f(t)dt-0}{6}=\frac{2004}{6}=334 }$ .

β) i) Υπολογίζουμε το $\displaystyle{\int_0^1 (t^2+t)dt=\big[\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\big]_0^1=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}}$ επομένως η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{\int_0^1(1+t^2)f(t)dt=x^2+6x\cdot\frac{5}{6}\Leftrightarrow \int_0^1(1+t^2)f(t)dt=x^2+5x\ }$ . Τα μέλη της τελευταίας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις

άρα έχουμε : $\displaystyle{(1+x^2)f(x)=2x+5\Leftrightarrow f(x)=\frac{2x+5}{x^2+1}}$ .

ii) Έχουμε : $\displaystyle{f'(x)=\frac{-2(x^2+5x-1)}{(x^2+1)^2}}$ άρα $\displaystyle{f(0)=5,~f'(0)=2}$ και η εξίσωση είναι :

$\displaystyle{y-5=2(x-0)\Leftrightarrow y=2x+5}$

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} \beta & -1 \\ \beta & -2 \\ \end{matrix} \right]}$ , όπου $\displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}$ .
Αν $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ , θεωρούμε το $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ γραμμικό σύστημα $\displaystyle{AX=\lambda X }$ όπου $\displaystyle{X= \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]}$ είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}$ υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ,
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1 \\ 1 & 2\left| A \right| \\ \end{matrix} \right]}$
και $\displaystyle{\left| A \right| > 0}$ όπου $\displaystyle{\left| A \right|}$ είναι η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{A}$ .
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]}$
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{B=5\mathbb{I} -A}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του $\displaystyle{A}$
και να βρείτε τον πίνακα $\displaystyle{X}$ για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{BX=A}$

α) $\displaystyle{AX = \lambda X \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \beta &{ - 1}\\ \beta &{ - 2} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda x}\\ {\lambda y} \end{array}} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \beta x - y = \lambda x\\ \beta x - 2y = \lambda y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {\beta - \lambda } \right)x - y = 0\\ \beta x - \left( {2 + \lambda } \right)y = 0 \end{array} \right.}$

Αφού το σύστημα είναι ομογενές και έχει και μη μηδενικές λύσεις θα είναι:

$D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\beta - \lambda }&{ - 1}\\ \beta &{ - \left( {2 + \lambda } \right)} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow - 2\beta - \beta \lambda + 2\lambda + {\lambda ^2} + \beta = 0 \Leftrightarrow$

${\lambda ^2} - \left( {\beta - 2} \right)\lambda - \beta = 0$ (1)

Η εξίσωση (1) έχει με άγνωστο $\lambda$ διακρίνουσα

$\Delta = {\left( {\beta - 2} \right)^2} + 4\beta = {\beta ^2} - 4\beta + 4 + 4\beta = {\beta ^2} + 4 > 0$ για κάθε $\beta \in R$

Άρα υπάρχουν δύο ακριβώς τιμές του $\lambda$ .

β) i. Είναι $\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + \left| A \right|}&{4\left| A \right| + 1}\\ 1&{2\left| A \right|} \end{array}} \right| \Rightarrow \left| A \right| = 4\left| A \right| + 2{\left| A \right|^2} - 4\left| A \right| - 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle{2{\left| A \right|^2} - \left| A \right| - 1 = 0 \Leftrightarrow \left| A \right| = 1\;\dot \eta \;\left| A \right| = - \frac{1}{2}}$

Άρα $\displaystyle{\left| A \right| = 1\;}$ αφού $\displaystyle{\left| A \right| > 0}$

Με $\displaystyle{\left| A \right| = 1\;}$ η αρχική ορίζουσα γίνεται:

$\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&5\\ 1&2 \end{array}} \right|$

ii. ${A^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&5\\ 1&2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&5\\ 1&2 \end{array}} \right] \Rightarrow {A^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {14}&{25}\\ 5&9 \end{array}} \right]$

$B = 5I - A\mathop \Rightarrow \limits^{ \cdot A} AB = 5A - {A^2} \Rightarrow AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {15}&{25}\\ 5&{10} \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {14}&{25}\\ 5&9 \end{array}} \right] \Rightarrow$

$AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] \Rightarrow AB = I \Rightarrow {A^{ - 1}} = B$

$BX = A\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot A} ABX = {A^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{AB = I} X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {14}&{25}\\ 5&9 \end{array}} \right]$

Ηλίας Θ. · #5

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} \beta & -1 \\ \beta & -2 \\ \end{matrix} \right]}$ , όπου $\displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}$ .
Αν $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ , θεωρούμε το $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ γραμμικό σύστημα $\displaystyle{AX=\lambda X }$ όπου $\displaystyle{X= \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]}$ είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων.
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{\beta \in \mathbb{R}}$ υπάρχουν ακριβώς δύο τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ,
για τις οποίες το παραπάνω γραμμικό σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.
β) Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ πίνακας για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1 \\ 1 & 2\left| A \right| \\ \end{matrix} \right]}$
και $\displaystyle{\left| A \right| > 0}$ όπου $\displaystyle{\left| A \right|}$ είναι η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{A}$ .
i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]}$
ii) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{B=5\mathbb{I} -A}$ , όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο $\displaystyle{2 \, x \, 2}$ μοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του $\displaystyle{A}$
και να βρείτε τον πίνακα $\displaystyle{X}$ για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{BX=A}$

Ισχύει $\displaystyle{AX=\lambda X }\Leftrightarrow \displaystyle{AX-\lambda X =O} \Leftrightarrow \left(A-\lambda I \right)X=O$
Για να έχει το ομογενές σύστημα και μη μηδενικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρες λύσεις άρα $\left|A-\lambda I\right |=0\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\left| \begin{matrix} \beta-\lambda & -1 \\ \beta & -2-\lambda \\ \end{matrix} \right|}=0\Leftrightarrow\lambda ^2+\lambda \left(2-\beta \right)-\beta=0$
Η δευτεροβάθμια αυτή εξίσωση, ως προς $\lambda$ έχει διακρίνουσα $\Delta=(2-\beta)^2+4\beta=4+\beta^2>0$ που σημαίνει ότι για κάθε $\beta$ υπάρχουν δύο τιμές του $\lambda$ ώστε $\left|A-\lambda I\right |=0$
β) i) Αφού $\displaystyle{A= \left[ \begin{matrix} 2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1 \\ 1 & 2\left| A \right| \\ \end{matrix} \right]}$ τότε $\displaystyle{\left |A\right |= \left| \begin{matrix} 2+\left| A \right| & 4\left| A \right|+1 \\ 1 & 2\left| A \right| \\ \end{matrix} \right|} \Rightarrow \left |A\right |= 2\left |A\right |^2-1 \Leftrightarrow 2\left |A\right |^2-\left |A\right |-1=0 \Leftrightarrow \left |A\right |=1$ ή $\left |A\right |=\dfrac{-1}{2}$ κι αφού $\left |A\right |>0$ τότε $\left |A\right |=1$ άρα $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right]}$
ii) $B=\left[ \begin{matrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right]$ και $BA=\left[ \begin{matrix} 3\cdot 2-5\cdot1 & 2\cdot5-5\cdot2 \\ -1\cdot3+3\cdot1 & -1\cdot5+3\cdot2 \\ \end{matrix} \right]=I$ άρα $BA=AB=I\Leftrightarrow B=A^{-1}$
Τέλος $BX=A\Leftrightarrow A(BX)=A^2\Leftrightarrow (AB)X=A^2\Leftrightarrow X=A^2=\left[ \begin{matrix} 14 & 25 \\ 8 & 9 \\ \end{matrix} \right]}$

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος, αφού δεν έχω ξαναγράψει τόσους πίνακες ή ορίζουσες σε LaTex...
Υ.Γ.2 Με πρόλαβε ο συνονόματος... αλλά το αφήνω για την ώρα που μου πήρε !

hlkampel · #6

parmenides51 έγραψε:4. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=x^2-4x+3 \,\, , x \in \mathbb{R}}$ .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)+f(y)=0}$ με $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ και τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\Omega}$ είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και $\displaystyle{X,Y}$ ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε $\displaystyle{X\subseteq Y}$ .
Έστω $\displaystyle{P(X), P(Y)}$ είναι οι πιθανότητες των $\displaystyle{X,Y}$ αντίστοιχα.
Έστω ότι οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{P(X), P(Y)}$ είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ , με
$\displaystyle{f(x)=4x^3-5x^2+2x+2000\,\, , x \in \mathbb{R}}$ .
Να υπολογίσετε
i) τις πιθανότητες $\displaystyle{P(X), P(Y)}$
ii) τις πιθανότητες $\displaystyle{P(X\cap Y), P(X\cup Y)}$ και $\displaystyle{P(Y\cap X') }$ όπου $\displaystyle{X'}$ το αντίθετο ενδεχόμενο του $\displaystyle{X}$ .

α) i) $f\left( x \right) + f\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2$

Άρα η εξίσωση $f\left( x \right) + f\left( y \right) = 0$ παριστάνει κύκλο με κέντρο K(2,2)

και ακτίνα $\rho = \sqrt 2$ .

ii) $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\dot \eta \;x = 3$

$f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle E = \int_3^1 {f\left( x \right)dx} = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right]_3^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 9 + 18 - 9 = \frac{4}{3}\tau .\mu .$

β) Είναι $f'\left( x \right) = 12{x^2} - 10x + 2$

$\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 10x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\;\dot \eta \;x = \frac{1}{2}$

Άρα η

είναι γν. αύξουσα στα διαστήματα $\displaystyle\left( { - \infty ,\frac{1}{3}} \right]$ και $\displaystyle\left[ {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$ και γν. φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle\left[ {\frac{1}{3},\frac{1}{2}} \right]$ .

Παρουσιάζει ακρότατα για $\displaystyle x = \frac{1}{3}\;\kappa \alpha \iota \;x = \frac{1}{2}$

i. Επειδή $X \subseteq Y \Rightarrow P\left( X \right) \le P\left( Y \right)$

Έτσι $\displaystyle P\left( X \right) = \frac{1}{3}$ και $\displaystyle P\left( Y \right) = \frac{1}{2}$

ii. $\displaystyle X \subseteq Y \Rightarrow \left( {X \cap Y} \right) = X \Rightarrow P\left( {X \cap Y} \right) = P\left( X \right) \Rightarrow P\left( {X \cap Y} \right) = \frac{1}{3}$

$\displaystyle X \subseteq Y \Rightarrow \left( {X \cup Y} \right) = Y \Rightarrow P\left( {X \cup Y} \right) = P\left( Y \right) \Rightarrow P\left( {X \cup Y} \right) = \frac{1}{2}$

$\displaystyle P\left( {Y \cap X'} \right) = P\left( Y \right) - P\left( {Y \cap X} \right) \Rightarrow P\left( {Y \cap X'} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \Leftrightarrow P\left( {Y \cap X'} \right) = \frac{1}{6}$

Edit: διόρθωση τελευταίας πιθανότητας. Είχα βρεί άλλη από αυτή που ζητάει. Ευτυχώς έβαλε ο Ορέστης τη λύση του..

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2000

Μέλη σε σύνδεση