NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1975 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Δίνεται σφαίρα $\ (O,\; R)\;$ και ισόπλευρος κώνος $\ \ KAB\;$ περιγεγραμμένος σ' αυτήν. Αν $\ \ V_1\ , \ V_2\;$ είναι αντιστοίχως οι όγκοι της σφαίρας και του κώνου και $\ \ E_1\ ,\ E_2\;$ τα εμβαδά των επιφανειών τους, να δειχτεί ότι : $\ \ \displaystyle \frac{V_1}{V_2}\ = \ \frac{E_1}{E_2}$

ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\ \ AB\mathit{\Gamma} \ ,\; \left( \hat{A}=90^0 \right)\;$ . Από την κορυφή $\ A\;$ φέρνουμε την $\ A\mathit{\Delta} \;$ κάθετη στην υποτείνουσα $\ B\Gamma \;$ και από το $\ \mathit{\Delta} \;$ φέρνουμε την $\ \mathit{\Delta} E \;$ κάθετη στην $\ AB\;$ . Να δειχτεί ότι : $\; \; \; A\mathit{\Delta} ^2 = A\mathit{\Gamma} \cdot \mathit{\Delta} E\ .$

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Δίνεται τρίγωνο $\ \ AB\mathit{\Gamma} \ , \ \left( \hat{B}>90^0 \right)\; .$ Από το $\ \ A\;$ φέρνουμε την $\ \ A\mathit{\Delta} \;$ κάθετη στην $B\mathit{\Gamma}\; .$ Να δειχτεί ότι :
$A\mathit{\Gamma} ^2 =AB^2 +B\mathit{\Gamma}^2 +2 B\mathit{\Gamma} \cdot B\math{\Delta}$

ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να υπολογισθεί η πλευρά κανονικού οκταγώνου εγγράψιμου σε κύκλο, ως συνάρτηση της ακτίνας $\ \ R \;$ του κύκλου.

Γιώργος Απόκης · #2

NIZ έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\ \ AB\mathit{\Gamma} \ ,\; \left( \hat{A}=90^0 \right)\;$ . Από την κορυφή $\ A\;$ φέρνουμε την $\ A\mathit{\Delta} \;$ κάθετη στην υποτείνουσα $\ B\Gamma \;$ και από το $\ \mathit{\Delta} \;$ φέρνουμε την $\ \mathit{\Delta} E \;$ κάθετη στην $\ AB\;$ . Να δειχτεί ότι : $\; \; \; A\mathit{\Delta} ^2 = A\mathit{\Gamma} \cdot \mathit{\Delta} E\ .$

To $\displaystyle{A\Delta}$ είναι ύψος προς την υποτείνουσα άρα θα ισχύει : $\displaystyle{A\Delta^2=\Gamma \Delta\cdot\Delta B~(1)}$ .

Τα τρίγωνα $\displaystyle{A\Gamma\Delta,~\Delta E B}$ είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια και έχουν $\displaystyle{\widehat{A\Gamma \Delta}=\widehat{E\Delta B}}$ ως εντός εκτός και επί τ' αυτά μέρη

των $\displaystyle{A\Gamma // \Delta E}$ με τέμνουσα $\displaystyle{B\Gamma}$ . Επομένως, $\displaystyle{\frac{\Gamma \Delta}{\Delta E}=\frac{A\Gamma}{\Delta B}\Rightarrow \Gamma \Delta \cdot \Delta B=A\Gamma \cdot \Delta E~(2)}$ .

Από τις (1), (2) προκύπτει η ζητούμενη.

Ιστοσελίδα · #3

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Δίνεται τρίγωνο $\ \ AB\mathit{\Gamma} \ , \ \left( \hat{B}>90^0 \right)$ . Από το $\ \ A\;$ φέρνουμε την $\ \ A\mathit{\Delta} \;$ κάθετη στην $B\mathit{\Gamma}\;.$ Να δειχτεί ότι: $A\mathit{\Gamma} ^2 =AB^2 +B\mathit{\Gamma}^2 +2 B\mathit{\Gamma} \cdot B\math{\Delta}$ .

: NΑΥΤΙΚΩΝ-ΔΟΚΙΜΩΝ-1975---ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ_3.png (8 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

${\rm A}{\Gamma ^2} = {\rm A}{\Delta ^2} + {({\rm B}\Delta + {\rm B}\Gamma )^2} = {\rm A}{\Delta ^2} + {\rm B}{\Delta ^2} + {\rm B}{\Gamma ^2} + 2{\rm B}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta$ $= {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm B}{\Gamma ^2} + 2{\rm B}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta$ .

Θέμα που θα μπορούσε να μπει, στις μέρες μας, άνετα σε Γυμνάσιο...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να υπολογισθεί η πλευρά κανονικού οκταγώνου εγγράψιμου σε κύκλο, ως συνάρτηση της ακτίνας $\ \ R \;$ του κύκλου.

Θα δώσω τη λύση που θα έδινε ένας υποψήφιος του 1975 , τότε κυκλοφορούσε ο τύπος $\lambda ^{2}_{2n}=R\left(R-a_{n} \right)$ , γνωστός ως τύπος του Αρχιμήδη , ένας τύπος με πανεύκολη απόδειξη που διδάσκεται άνετα σε συνηθισμένο τμήμα της Β' Λυκείου .

Είναι γνωστό από τη θεωρία ότι $a_{4}=R\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Αντικαθιστώ και κάνω πράξεις που εύκολα καταλαβαίνετε και καταλήγω ότι

$\lambda_{8} =R\sqrt{2-\sqrt{2}}$

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1975 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1975 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1975 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1975 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1975 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1975 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση