ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

parmenides51 · #1

1. α) Να γραφτούν οι τύποι του αθροίσματος και του γινομένου των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.
β) Να βρείτε το $\displaystyle{\lambda}$ ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών $\displaystyle{ \rho_1,\rho_2}$ της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $\displaystyle{x^2-(\lambda+1)x+\lambda=0}$ να ισούται με $\displaystyle{5}$ .

2. α) i) Τι γνωρίζετε για τα κοινά σημεία δυο τεμνόμενων επιπέδων;
ii) Ποια είναι η γωνία τους και τι ιδιότητες έχει; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.
β) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές του $\displaystyle{AB,A\Gamma}$ κατασκευάζουμε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.
i) Ποιο είναι το είδος του σχήματος που σχηματίζεται;
ii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του σχηματιζόμενου σχήματος με γνωστές τις κάθετες $\displaystyle{(AB)=\gamma}$ και $\displaystyle{(A\Gamma)=\beta}$

3. α) Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών από $\displaystyle{0^o}$ ως $\displaystyle{180^o}$ ;
β) Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών $\displaystyle{150^o}$ και $\displaystyle{135^o}$ .

Υ.Γ. μετέφρασα το ''προκύπτοντος σχήματος'' σε ''σχήματος που σχηματίζεται'' στο 2β.i.

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Να γραφτούν οι τύποι του αθροίσματος και του γινομένου των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.
β) Να βρείτε το $\displaystyle{\lambda}$ ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών $\displaystyle{ \rho_1,\rho_2}$ της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $\displaystyle{x^2-(\lambda+1)x+\lambda=0}$ να ισούται με $\displaystyle{5}$ .

α)Θεωρία

β)Με την βοήθεια των τύπων $\displaystyle{Vieta}$ έχουμε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \rho_{1}^2+\rho_{2}^2=5&\Leftrightarrow \left[\rho_{1}+\rho_{2}\right]^2-2\rho_{1}\cdot \rho_{2}=5\\&\Leftrightarrow \left[\lambda+1\right]^2-2\lambda=5\\&\Leftrightarrow \lambda^2+2\lambda+1-2\lambda=5\\&\Leftrightarrow \lambda^2=4\\&\Leftrightarrow \lambda=2\ \lor \lambda=-2\end{aligned}}$

Γιώργος Απόκης · #3

2. α) i) Τι γνωρίζετε για τα κοινά σημεία δυο τεμνόμενων επιπέδων;
ii) Ποια είναι η γωνία τους και τι ιδιότητες έχει; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.
β) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές του $\displaystyle{AB,A\Gamma}$ κατασκευάζουμε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.
i) Ποιο είναι το είδος του σχήματος που σχηματίζεται;
ii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του σχηματιζόμενου σχήματος με γνωστές τις κάθετες $\displaystyle{(AB)=\gamma}$ και $\displaystyle{(A\Gamma)=\beta}$

Λύση

α) i), ii) Θεωρία

β) i) Τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή άρα $\displaystyle{\hat A_1=\hat A_2=45^o}$ επομένως $\displaystyle{\hat A_1+\hat A+\hat A_2=180^o}$ δηλαδή τα σημεία $\displaystyle{N,A,M}$

είναι συνευθειακά και το σχήμα που προκύπτει είναι τετράπλευρο. Eπιπλέον $\displaystyle{N\Gamma // BM}$ (κάθετες στην ΜΝ) άρα

$\displaystyle{\bullet}$ αν $\displaystyle{\beta\ne\gamma}$ το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

$\displaystyle{\bullet}$ αν $\displaystyle{\beta=\gamma}$ το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.

ii) Από το Πυθαγόρειο έχουμε : $\displaystyle{x^2+x^2=\gamma^2\Rightarrow x^2=\frac{\gamma^2}{2}}$ και $\displaystyle{y^2+y^2=\beta^2\Rightarrow y^2=\frac{\beta^2}{2}}$ . Έχουμε :

$\displaystyle{E=E_{AB\Gamma}+E_{ABM}+E_{AN\Gamma}=\frac{1}{2}\beta\gamma+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}\beta\gamma+\frac{1}{4}\gamma^2+\frac{1}{4}\beta^2=\frac{1}{4}(\beta+\gamma)^2=\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)^2}$

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέλη σε σύνδεση