ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1977 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Ιστοσελίδα · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο: Έστω η εξίσωση
$(1-\alpha x)(1+\alpha x)^{-1}=(1-\beta x)^{1/3}(1+\beta x)^{{\color{red}-}1/3}$ και $\mu=\beta : \alpha .$
α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει τη λύση x=0 .

β) Για ποιές τιμές του $\mu$ η εξίσωση έχει μόνο τη λύση x=0;

γ) Για ποιές τιμές του $\mu$ η εξίσωση εκτός από τη λύση x=0

έχει ακόμα
δύο μόνο άλλες λύσεις πραγματικές και διαφορετικές μεταξύ τους;
δ) Για ποιές τιμές του $\mu$ η εξίσωση εκτός από τη λύση x=0

έχει ακόμα
μόνο δύο λύσεις φανταστικές και διαφορετικές μεταξύ τους;
ε) Για ποιές τιμές των $\alpha , \beta$ η εξίσωση έχει λύση κάθε πραγματικό αριθμό $\rho ,$
τέτοιον ώστε $(1+\rho\alpha)(1+\rho\beta)\neq 0 .$

ΖΗΤΗΜΑ 2ο: Αν είναι:
$z_1>x \; \wedge \; x>2 \; \wedge \; Z_{\nu+1}=\dfrac{z_{\nu}}{2}+\dfrac{x}{2z_{\nu}} , \; \forall \nu\in\mathbb{N} ,$
ν' αποδείξετε ότι:
α) $2z_\nu}^2 >2x , \; \forall \nu\in\mathbb{N}$
β) $z_{\nu}>z_{\nu+1} , \; \forall \nu\in\mathbb{N}$

ΖΗΤΗΜΑ 3ο: Αν $z=\alpha+i\beta\neq 0,$ ν' αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο και μόνο
αριθμοί $\varrho , \theta$ με $\varrho>0 \; \wedge \; 0\leq\theta\leq 2\pi ,$ τέτοιοι ώστε
$z=\varrho(\sigma\upsilon\nu \theta +i\eta\mu \theta)$

ΖΗΤΗΜΑ 4ο: Αν $\varphi , a , a\vartheta , a\vartheta^2$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε να δειχθεί ότι οι αριθμοί:
$\log_{a}\varphi \; , \; \log_{a\vartheta}\varphi \; , \; \log_{a\vartheta^2}\varphi$ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

Υ.Γ. Στο ΖΗΤΗΜΑ 1ο, ο εκθέτης πρέπει να έχει $\color{red}-$ , δεν φαινόταν καλά στο φυλλάδιο.

#2

ΖΗΤΗΜΑ 4ο:
Αν $\varphi , a , a\vartheta , a\vartheta^2$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε να δειχθεί ότι οι αριθμοί:
$\log_{a}\varphi \; , \; \log_{a\vartheta}\varphi \; , \; \log_{a\vartheta^2}\varphi$ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

Λύση
Οι αριθμοί $\displaystyle{{\log _a}\varphi \;,\;{\log _{a\vartheta }}\varphi \;,\;{\log _{a{\vartheta ^2}}}\varphi }$ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου
αν και μόνο αν οι αντίστροφοί τους $\displaystyle{\,\,\,\frac{1}{{{{\log }_a}\varphi }}\,\,\,,\,\,\,\frac{1}{{{{\log }_{a\theta }}\varphi }}\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{1}{{{{\log }_{a{\theta ^2}}}\varphi }}\,\,\,\,}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
δηλαδή αν και μόνο αν η σχέση :
$\displaystyle{\frac{2}{{{{\log }_{a\theta }}\varphi }}\, = \frac{1}{{{{\log }_a}\varphi }}\, + \frac{1}{{{{\log }_{a{\theta ^2}}}\varphi }}}$
Όμως :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{2}{{{{\log }_{a\theta }}\varphi }}\, = \frac{1}{{{{\log }_a}\varphi }}\, + \frac{1}{{{{\log }_{a{\theta ^2}}}\varphi }} \Leftrightarrow \frac{{2{{\log }_a}a\theta }}{{{{\log }_a}\varphi }} = \frac{1}{{{{\log }_a}\varphi }} + \frac{{{{\log }_a}a{\theta ^2}}}{{{{\log }_a}\varphi }} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 2{\log _a}a\theta = 1 + {\log _a}a + 2{\log _a}\theta \Leftrightarrow 2 + 2{\log _a}\theta = 2 + 2{\log _a}\theta \\ \end{array}}$
η οποία ισχύει .

BAGGP93 · #3

stranton έγραψε:
ΖΗΤΗΜΑ 2ο: Αν είναι:
$z_1>x \; \wedge \; x>2 \; \wedge \; Z_{\nu+1}=\dfrac{z_{\nu}}{2}+\dfrac{x}{2z_{\nu}} , \; \forall \nu\in\mathbb{N} ,$
ν' αποδείξετε ότι:
α) $2z_\nu}^2 >2x , \; \forall \nu\in\mathbb{N}$
β) $z_{\nu}>z_{\nu+1} , \; \forall \nu\in\mathbb{N}$

$\displaystyle{\alpha)}$ Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{z_{\nu}^2>x\,\,,\nu\in\mathbb{N}}$

Αρχικά, εύκολα βλέπουμε μέσω Μαθηματικής Επαγωγής, ότι $\displaystyle{z_{\nu}>0\,\,,\nu\in\mathbb{N}}$

Για $\displaystyle{\nu=1}$ είναι

$\displaystyle{z_{1}>x>2\Rightarrow z_{1}^2>x^2>x}$

Έστω $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{z_{\nu}^2>x}$

$\displaystyle{(\bullet):\nu\to \nu+1}$

$\displaystyle{\begin{aligned} z_{\nu+1}^2-x=\left(\frac{z_{\nu}}{2}+\frac{x}{2\,z_{\nu}}\right)^2-x&=\frac{z_{\nu}^2}{4}+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4\,z_{\nu}^2}-x\\&=\frac{z_{\nu}^2}{4}-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4\,z_{\nu}^2}\\&=\left(\frac{z_{\nu}}{2}-\frac{x}{2\,z_{\nu}}\right)^2\\&=\frac{\left(z_{\nu}^2-x\right)^2}{4\,z_{\nu}^2}}\end{aligned}}$

Από την Επαγωγική Υπόθεση, έχουμε ότι $\displaystyle{z_{\nu+1}^2-x>0}$

Επομένως, επαγωγικά, $\displaystyle{z_{\nu}^2>x\,\,,\nu\in\mathbb{N}}$

$\displaystyle{\beta)}$ Για κάθε $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ έχουμε,

$\displaystyle{\begin{aligned} z_{\nu}-z_{\nu+1}&=z_{\nu}-\left(\frac{z_{\nu}}{2}+\frac{x}{2\,z_{\nu}}\right)\\&=\frac{z_{\nu}}{2}-\frac{x}{2\,z_{\nu}}\\&=\frac{z_{\nu}^2-x}{2\,z_{\nu}}\,\,(I)\end{aligned}}$

Σύμφωνα με το $\displaystyle{\alpha)}$ , η $\displaystyle{(I)}$ δίνει $\displaystyle{z_{\nu}>z_{\nu+1}\,\,,\nu\in\mathbb{N}}$

parmenides51 · #4

Βρήκα όλα τα Δελτία του Πάλλα μετά από το 1957 (θα τα έχω προσεχώς όλα μετά το 1947)
οπότε μπορώ να τσεκάρω κάθε εκφώνηση που έχει ήδη ανέβει στο

μιας και τις έχουν λυμένες
θα τα τσεκάρω τα θέματα και θα τα συμπληρώνω ανα χρονιά, πριν πηγαίνω στο επόμενο έτος
τα θέματα 2-4 είναι ακριβώς ίδια, το 1ο θέμα το βρήκα την με την παρακάτω διατύπωση

ΖΗΤΗΜΑ 1ο: Δίνεται η εξίσωση $(1-\alpha x)(1+\alpha x)^{-1}=(1-\beta x)^{1/3}(1+\beta x)^{-1/3}$ και $\displaystyle{\mu=\frac{\beta }{ \alpha} }$ .
α) Να δειχθεί ότι έχει λύση την .
β) Για ποιες τιμές του $\mu$ έχει μόνο τη λύση ;
γ) Για ποιες τιμές του $\mu$ η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες;
δ) Για ποιες τιμές του $\mu$ η εξίσωση έχει δύο ρίζες φανταστικές;
ε) Εαν $\displaystyle{(1+x \alpha)\ne 0}$ και $\displaystyle{(1+x\beta)\neq 0 }$ , για ποιες τιμές των $\alpha , \beta$ η εξίσωση έχει λύση για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ;

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1977 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1977 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1977 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1977 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1977 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση