ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

parmenides51 · #1

Η ομάδα 2 περιείχε σχολές που μετά άνηκαν στον Πολυτεχνικό, Φυσικομαθηματικό και Γεωπονοδασολογικό Κύκλο μετά.

1. Να αποδείξετε τους τύπους που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των μισών των γωνιών $\displaystyle{\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{\Gamma}}$ τριγώνου συναρτήσει των πλευρών του.

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ο εγγεγραμμένος του κύκλος ακτίνας $\displaystyle{\rho}$ .
Εγγράφουμε τρεις κύκλους, τέτοιους ώστε καθένας τους να εφάπτεται στις δυο πλευρές του τριγώνου και στον εγγεγραμμένο του κύκλο.
Εαν $\displaystyle{\rho_{\alpha} ,\rho_{\beta}, \rho_{\gamma}}$ είναι οι ακτίνες των κύκλων αυτών, να δειχθούν οι ισότητες: $\displaystyle{\frac{\rho_{\alpha}}{ \rho}=\varepsilon \phi ^2\left(\frac{\pi-A}{4}\right), \,\,, \frac{\rho_{\beta}}{ \rho}=\varepsilon \phi ^2\left(\frac{\pi-B}{4} \right)\,\,, \frac{\rho_{\gamma}}{ \rho}=\varepsilon \phi ^2\left(\frac{\pi-\Gamma}{4}\right)}$
όπου $\displaystyle{\rho_{\alpha}}$ είναι η ακτίνα του κύκλου που εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{AB,A\Gamma}$ , $\displaystyle{\rho_{\beta}}$ είναι η ακτίνα του κύκλου που εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma,BA}$
και $\displaystyle{\rho_{\gamma}}$ είναι η ακτίνα του κύκλου που εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{\Gamma A, \Gamma B}$ .

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας $\displaystyle{R}$ .
Αν $\displaystyle{H}$ είναι το ορθόκεντρο του, να δειχθεί η σχέση $\displaystyle \frac{(BH)(CH)}{R^{2}}\leq 4\eta \mu ^{2}\left(\frac{ A}{2}\right)}$
και να εξετασθεί πότε ισχύει το ίσον. ***

Σημείωση:
*** Η αποδεικτέα σχέση στο 3ο θέμα ισχύει μόνο εαν $\displaystyle \widehat B, \widehat C<90^o$ όπως αποδεικνύεται στο αντίστοιχο Δελτίο του Πάλλα.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας $\displaystyle{R}$ .
Αν $\displaystyle{H}$ είναι το ορθόκεντρο του, να δειχθεί η σχέση $\displaystyle \frac{(BH)(CH)}{R^{2}}\leq 4\eta \mu ^{2}\left(\frac{ A}{2}\right)}$
και να εξετασθεί πότε ισχύει το ίσον. ***

Σημείωση:
*** Η αποδεικτέα σχέση στο 3ο θέμα ισχύει μόνο εαν $\displaystyle \widehat B, \widehat C<90^o$ όπως αποδεικνύεται στο αντίστοιχο Δελτίο του Πάλλα.

εδώ

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 2 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.-ΦΥΣΙΚ.-ΓΕΩΠ.)

Μέλη σε σύνδεση