Σ.Μ.Α 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

Σιγά σιγά θα αρχίζω να ανεβάζω και τα υπόλοιπα παλιά θέματα εξετάσεων για να μαθαίνουν οι νεώτεροι και να θυμούνται οι παλιότεροι

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) $\displaystyle{x^2-x-18+\frac{72}{x^2-x}=0}$

β) $\displaystyle{\frac{1}{(x-\alpha)^2}+\frac{1}{(x-\beta)^2}=\lambda}$ για $\displaystyle{ \alpha\ne \beta}$

2. Να δειχθεί ότι ικανή κι αναγκαία συνθήκη ώστε το $\displaystyle{x^{\mu}-a^{\mu}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x^{\lambda}-a^{\lambda}}$ είναι
το $\displaystyle{\mu}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{ \lambda}$ (όπου $\displaystyle{\lambda,\mu}$ φυσικοί με $\displaystyle{\mu \ge \lambda}$ )

3. Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{T(x)=\alpha x^2 +\beta x+\gamma}$ .
Αν $\displaystyle{\lambda}$ είναι ρίζα του $\displaystyle{\alpha x^2 +\beta x+\gamma}$ , να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{\mu}$ ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{T(x_1),T(\lambda),T(x_2)}$
να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, όπου $\displaystyle{x_1=\lambda-\mu, x_2=\lambda+\mu.}$

4. Αν $\displaystyle{M}$ είναι το πλήθος των ακέραιων αριθμών των οποίων οι λογάριθμοι έχουν χαρακτηριστικό $\displaystyle{\mu }$
και $\displaystyle{N}$ είναι το πλήθος των ακέραιων αριθμών των οποίων οι λογάριθμοι έχουν χαρακτηριστικό $\displaystyle{-\nu}$ ,
να δειχτεί ότι $\displaystyle{\log M - \log N =\mu-\nu +1}$

5. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\alpha^{\displaystyle \beta^x}= \gamma^{\displaystyle \delta^x}}$ όπου $\displaystyle{\alpha, \beta,\gamma,\delta>0}$

Υ.Γ. 1. Ας μας εξηγήσει κάποιος τι εννοεί όταν γράφει πως ένας ακέραιος έχει λογάριθμο με χαρακτηριστικό $\displaystyle{ M}$ (που αναφέρεται στο θέμα 4)
Υ.Γ. 2. Ας υπενθυμίσω οτι άλυτες ασκήσεις έχουν όσα θέματα εξετάσεων έχουν αστεράκι στο Ευρετήριο Θεμάτων Εισαγωγικών - Πανελλαδικών Εξετάσεων

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:Σιγά σιγά θα αρχίζω να ανεβάζω και τα υπόλοιπα παλιά θέματα εξετάσεων για να μαθαίνουν οι νεώτεροι και να θυμούνται οι παλιότεροι

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) $\displaystyle{x^2-x-18+\frac{72}{x^2-x}=0}$

β) $\displaystyle{\frac{1}{(x-\alpha)^2}+\frac{1}{(x-\beta)^2}=\lambda}$ για $\displaystyle{ \alpha\ne \beta}$

Καλησπέρα, ας κάνω την αρχή.

α) Για $\displaystyle{x\in\mathbb{C}-\left\{0,1\right\}}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2-x-18+\frac{72}{x^2-x}=0&\Leftrightarrow \left(x^2-x\right)^2-18\,\left(x^2-x\right)+72=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(x^2-x\right)-9\right]^2=-72+81\\&\Leftrightarrow \left[\left(x^2-x\right)-9\right]^2=9\\&\Leftrightarrow x^2-x-9=3\,\, \lor \,\, x^2-x-9=-3\\&\Leftrightarrow x^2-x=12\,\,\lor\,\,x^2-x=6\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{49}{4}\,\,\lor\,\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\\&\Leftrightarrow x\in\left\{-3,4\right\}\,\,\lor\,\,x\in\left\{-2,3\right\}\\&\Leftrightarrow x\in\left\{-3,-2,3,4\right\}\end{aligned}}$

β) Για $\displaystyle{x\in\mathbb{C}-\left\{\alpha,\beta\right\}}$ και $\displaystyle{\lambda>0}$ είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{\left(x-\alpha\right)^2}+\frac{1}{\left(x-\beta\right)^2}=\lambda&\Leftrightarrow \left[\frac{1}{x-\alpha}-\frac{1}{x-\beta}\right]^2+\frac{2}{\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)}=\lambda\\&\Leftrightarrow \frac{\left(\alpha-\beta\right)^2}{\left[\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\right]^2}+\frac{2}{\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)}=\lambda\\&\Leftrightarrow \lambda\,\left(x-\alpha\right)^2\,\left(x-\beta\right)^2-2\,\left(x-a\right)\left(x-\beta\right)-\left(\alpha-\beta\right)^2=0\\&\Leftrightarrow \left(x-\alpha\right)^2\,\left(x-\beta\right)^2-\frac{2\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)}{\lambda}-\frac{\left(\alpha-\beta\right)^2}{\lambda}=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)-\frac{1}{\lambda}\right]^2=\frac{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}{\lambda^2}\\&\Leftrightarrow \left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)=\frac{1\pm \sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}}{\lambda}\end{aligned}}$ .

Έχουμε τώρα να λύσουμε δύο εξισώσεις.

Πρώτη εξίσωση

$\displaystyle{x^2-\left(\alpha+\beta\right)\,x+\alpha\,\beta-\frac{1+\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}}{\lambda}=0}$

Η διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου είναι

$\displaystyle{\Delta_{1}=\left(\alpha+\beta\right)^2-4\,\alpha\,\beta+\frac{4+4\,\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}}{\lambda}=\left(\alpha-\beta\right)^2+\frac{4+4\,\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}}{\lambda}>0}$ .

Συνεπώς, οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο $\displaystyle{x=\frac{\left(\alpha+\beta\right)\pm \sqrt{\Delta_{1}}}{2}}$

Δεύτερη εξίσωση

$\displaystyle{x^2-\left(\alpha+\beta\right)\,x+\alpha\,\beta-\frac{1-\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}}{\lambda}=0$

με διακρίνουσα τριωνύμου την

$\displaystyle{\begin{aligned}\Delta_{2}=\left(\alpha+\beta\right)^2-4\,\alpha\,\beta+\frac{4-4\,\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}}{\lambda}}&=\left(\alpha-\beta\right)^2+\frac{4}{\lambda}\left(1-\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}\right)\\&=\frac{\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2+4-4\,\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}}{\lambda}\\&=\frac{\left(\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}-2\right)^2-1}{\lambda}\\&=\frac{\left(\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}-1\right)\left(\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}-3\right)}{\lambda}\end{aligned}}$

με $\displaystyle{\frac{\sqrt{1+\lambda\,\left(\alpha-\beta\right)^2}-1}{\lambda}>0}$ .

Αν $\displaystyle{\lambda\in\left(0,\frac{8}{\left(\alpha-\beta\right)^2}\right)}$ , τότε η δεύτερη εξίσωση έχει δύο

συζηγείς μιγαδικές ρίζες, τις $\displaystyle{x_{1\,,2}=\frac{\alpha+\beta\pm \i\,\sqrt{-\Delta_{2}}}{2}}$ .

Αν $\displaystyle{\lambda=\frac{8}{\left(\alpha-\beta\right)^2}}$ , τότε $\displaystyle{\Delta_{2}=0}$ και άρα

η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την $\displaystyle{x=\frac{\alpha+\beta}{2}}$ .

Τέλος, αν $\displaystyle{\lambda>\frac{8}{\left(\alpha-\beta\right)^2}}$ , τότε $\displaystyle{x=\frac{\alpha+\beta\pm \sqrt{\Delta_{2}}}{2}}$ .

Όμοιες εξισώσεις και διακρίνουσες προκύπτουν για $\displaystyle{\lambda<0}$ .

Αν $\displaystyle{\lambda=0}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned}\frac{1}{\left(x-\alpha\right)^2}+\frac{1}{\left(x-\beta\right)^2}=0&\Leftrightarrow \left(x-\alpha\right)^2+\left(x-\beta\right)^2=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(x-\alpha\right)+i\,\left(x-\beta\right)\right]\left[\left(x-\alpha\right)-i\,\left(x-\beta\right)\right]=0\\&\Leftrightarrow x-\alpha=i\,\beta-i\,x\,\lor\,x-a\lpha=i\,x-i\,\beta\\&\Leftrightarrow x=\frac{\alpha+i\,\beta}{1+i}\,\lor\,x=\frac{\alpha-i\,\beta}{1-i}\\&\Leftrightarrow x=\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{b-a}{2}\,i\,\lor\,x=\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}\,i\end{aligned}}$

#3

parmenides51 έγραψε:4. Αν $\displaystyle{M}$ είναι το πλήθος των ακέραιων αριθμών των οποίων οι λογάριθμοι έχουν χαρακτηριστικό $\displaystyle{\mu }$
και $\displaystyle{N}$ είναι το πλήθος των ακέραιων αριθμών των οποίων οι λογάριθμοι έχουν χαρακτηριστικό $\displaystyle{-\nu}$ ,
να δειχτεί ότι $\displaystyle{\log M - \log N =\mu-\nu +1}$

Υ.Γ. 1. Ας μας εξηγήσει κάποιος τι εννοεί όταν γράφει πως ένας ακέραιος έχει λογάριθμο με χαρακτηριστικό $\displaystyle{ M}$ (που αναφέρεται στο θέμα 4)

Νομίζω ότι το χαρακτηριστικό λογαρίθμου είναι το ακέραιο μέρος του. Π.χ το χαρακτηριστκό του log35 είναι το 1.

Σ.Μ.Α 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση