ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να προσδιορίσετε αριθμητική πρόοδο που να περιέχει ως όρους τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2}}$ .

2. Τι ονομάζεται λογάριθμος ενός αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ ως προς βάση έναν αριθμό $\displaystyle{\beta}$ ; Ποιοι είναι οι περιορισμοί των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ ;
Να γράψετε και να αποδείξετε τις κυριότερες ιδιότητες των λογαρίθμων.

3. Εαν αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο τον $\displaystyle{\log \alpha}$ και δεύτερο όρο τον $\displaystyle{\log \beta}$ ,
να δείξετε οτι το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της είναι $\displaystyle{\Sigma_{\nu}=\frac{1}{2}\log \left[\frac{ \beta^{\nu(\nu-1)}}{\alpha^{\nu(\nu-3)}}\right]}$

4. Να αποδειχθεί οτι η παράσταση $\displaystyle{9^{3\nu}-8^{2\nu}}$ είναι διαιρετή από το $\displaystyle{665}$ , όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός μεγαλύτερος του $\displaystyle{3}$ . Το θέμα ισχύει για $\displaystyle{\nu=1}$ και $\displaystyle{\nu=2}$ .

sokratis lyras · #2

parmenides51 έγραψε:
4. Να αποδειχθεί οτι η παράσταση $\displaystyle{9^{3\nu}-8^{2\nu}}$ είναι διαιρετή από το $\displaystyle{665}$ , όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός μεγαλύτερος του $\displaystyle{3}$ . Το θέμα ισχύει για $\displaystyle{\nu=1}$ και $\displaystyle{\nu=2}$ .

$\displaystyle { (9^3)^n-(8^2)^n \equiv 0\mod (9^3-8^2})$ . Όμως 9^3-8^2=665

και το ζητούμενο έπεται.

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:3. Εαν αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο τον $\displaystyle{\log \alpha}$ και δεύτερο όρο τον $\displaystyle{\log \beta}$ ,
να δείξετε οτι το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της είναι $\displaystyle{\Sigma_{\nu}=\frac{1}{2}\log \left[\frac{ \beta^{\nu(\nu-1)}}{\alpha^{\nu(\nu-3)}}\right]}$

Με $\alpha > 0,\;\beta > 0$ η διαφορά της προόδου είναι $\displaystyle\omega = \log \beta - log\alpha = log\frac{\beta }{\alpha }$ .

$\displaystyle {\Sigma _\nu } = \frac{\nu }{2}\left[ {2{\alpha _1} + \left( {\nu - 1} \right)\omega } \right] = \frac{\nu }{2}\left[ {2\log \alpha + \left( {\nu - 1} \right)\log \frac{\beta }{\alpha }} \right] =$

$\displaystyle\frac{1}{2}\left[ {\log {\alpha ^{2\nu }} + \log {{\left( {\frac{\beta }{\alpha }} \right)}^{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}} \right] = \frac{1}{2}\log \left( {{\alpha ^{2\nu }} \cdot \frac{{{\beta ^{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}}}{{{\alpha ^{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}}}} \right) =$

$\displaystyle\frac{1}{2}\log \left( {\frac{{{\beta ^{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}}}{{{\alpha ^{\nu \left( {\nu - 1} \right) - 2\nu }}}}} \right) = \frac{1}{2}\log \left( {\frac{{{\beta ^{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}}}{{{\alpha ^{\nu \left( {\nu - 3} \right)}}}}} \right)$

#4

parmenides51 έγραψε:1. Να προσδιορίσετε αριθμητική πρόοδο που να περιέχει ως όρους τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2}}$ .

Τα κλάσματα γίνονται $\displaystyle{\frac{12}{60},\frac{15}{60},\frac{20}{60},\frac{30}{60}}.$ Αν πάρουμε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο το $\displaystyle{\frac{12}{60}}$ και διαφορά το $\displaystyle{\frac{1}{60}$ τότε αυτή θα περιέχει όλα τα δοσμένα κλάσματα.

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση