ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να δειχθεί οτι αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\gamma^2-\beta^2=\alpha^2\sigma\upsilon\nu 2 B}$ τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu^4x+\sigma\upsilon\nu^4x=\frac{3}{4}}$

3. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με πλευρά $\displaystyle{\beta=1}$ μέτρο και $\displaystyle{\gamma=2}$ μέτρα, η διάμεσος $\displaystyle{AM}$ διαιρεί την γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ σε δυο γωνίες, εκ των οποίων η μια είναι τριπλάσια της άλλης γωνίας ( $\displaystyle{\widehat{MA\Gamma}=3\widehat{BAM}}$ ) . Να υπολογισθεί η πλευρά $\displaystyle{\alpha}$ του τριγώνου.

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu^4x+\sigma\upsilon\nu^4x=\frac{3}{4}}$

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle {\left( {\eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x} \right)^2} - 2\eta {\mu ^2}x\sigma \upsilon {\nu ^2}x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2\eta {\mu ^2}x\sigma \upsilon {\nu ^2}x = 1 - \frac{3}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot 2} 4\eta {\mu ^2}x\sigma \upsilon {\nu ^2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle\eta {\mu ^2}2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \eta \mu 2x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Αν $\displaystyle\eta \mu 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \eta \mu 2x = \eta \mu \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow$

$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} 2x = 2\kappa \pi + \frac{\pi }{4}\\ 2x = 2\kappa \pi + \frac{{3\pi }}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \kappa \pi + \frac{\pi }{8}\\ x = \kappa \pi + \frac{{3\pi }}{8} \end{array} \right.\kappa \in Z$

$\displaystyle\eta \mu 2x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \eta \mu 2x = \eta \mu \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} 2x = 2\lambda \pi - \frac{\pi }{4}\\ 2x = 2\lambda \pi + \frac{{5\pi }}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \lambda \pi - \frac{\pi }{8}\\ x = \lambda \pi + \frac{{5\pi }}{8} \end{array} \right.\lambda \in Z$

gauss1988 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχθεί οτι αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\gamma^2-\beta^2=\alpha^2\sigma\upsilon\nu 2 B}$ τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

$\gamma ^2 -\beta ^2 =a^2 (2\sigma \upsilon \nu ^2 B-1)\Rightarrow a^2 +\gamma ^2 -\beta ^2 =2a^2 \frac{a^2 +\gamma ^2 -\beta ^2 )^2}{4a^2 \gamma ^2}$

Άρα $2a^2 \gamma ^2 +2\gamma ^4 -2\beta ^2 \gamma ^2 =a^4 +\gamma ^4 +\beta ^4 +2a^2 \gamma ^2-2a^2 \beta ^2 -2\beta ^2 \gamma ^2$

Άρα $\gamma ^4 =a^4 +\beta ^4 -2a^2 \beta ^2 \Rightarrow \gamma ^4 =(a^2 -\beta ^2 )^2 \Rightarrow \gamma ^2 =|a^2 -\beta ^2 |$

Θα πάρω δύο περιπτώσεις

1) $\gamma ^2 =a^2 -\beta ^2$ . Τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο

2) $\gamma ^2 =\beta ^2 -a^2$ . Τότε είναι ορθογώνιο στο

gauss1988 · #4

parmenides51 έγραψε:3. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με πλευρά $\displaystyle{\beta=1}$ μέτρο και $\displaystyle{\gamma=2}$ μέτρα, η διάμεσος $\displaystyle{AM}$ διαιρεί την γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ σε δυο γωνίες, εκ των οποίων η μια είναι τριπλάσια της άλλης γωνίας ( $\displaystyle{\widehat{MA\Gamma}=3\widehat{BAM}}$ ) . Να υπολογισθεί η πλευρά $\displaystyle{\alpha}$ του τριγώνου.

Έστω $\widehat{\Gamma AM}=3x , \widehat{MAB}=x$ . Εφαρμόζω τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα $A\Gamma M$ και MAB

$\frac{\frac{a}{2}}{sin3x}=\frac{1}{sin\Gamma MA}\Rightarrow \frac{a}{2sin3x}=\frac{1}{sin\Gamma MA}$

$\frac{\frac{a}{2}}{sinx}=\frac{2}{sin(180-\Gamma MA}\Rightarrow \frac{a}{4sinx}=\frac{1}{sin\Gamma MA}$

Άρα $\frac{a}{2sin3x}=\frac{a}{4sinx}\Rightarrow sin3x=2sinx\Rightarrow 3sinx -4sin^3 x=2sinx\Rightarrow$

4sin^3 x=sinx

. Αλλά $0<x<180^{o}$ . Άρα $sinx =\frac{1}{2}\Rightarrow x=30^{o}$ . Άρα $A=120^{o}$

Από τον νόμο συνημιτόνων $a^2 =1^2 +2^2 -2.1.2.cos120\Rightarrow a^2 =5-4(-\frac{1}{2})\Rightarrowa=\sqrt{7}$

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση