ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Σε κάθε πλευρά τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ισόπλευρο τρίγωνο. Συνδέουμε την τρίτη κορυφή καθενός από τα νέα τρίγωνα με την απέναντι της κορυφή στο αρχικό τρίγωνο. Να δειχθεί οτι:
α) τα τρία παραπάνω ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα μεταξύ τους
β) οι τρεις παραπάνω ευθείες συντρέχουν

2. Σε καθεμία από τις πλευρές δοθείσας γωνίας $\displaystyle{\widehat{xOy}}$ παίρνουμε τα σταθερά σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ που απέχουν άνισες αποστάσεις από την κορυφή $\displaystyle{O}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου επαφής των δύο κύκλων, εκ των οποίων ο ένας εφάπτεται στην $\displaystyle{Ox}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ και ο άλλος εφάπτεται στην $\displaystyle{Oy}$ στο σημείο $\displaystyle{B}$ .

3. Σε επίπεδο $\displaystyle{l_1}$ δίνονται οι παράλληλες ευθείες $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ . Ομοίως δίνεται ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ που βρίσκεται εκτός του επιπέδου $\displaystyle{l_1}$ και μη παράλληλο προς αυτό. Από αυτό το ευθύγραμμο τμήμα άγονται επίπεδα $\displaystyle{l_2,...}$ τα οποία τέμνουν τις ευθείες $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{ \beta}$ στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα. Να δειχθεί οτι η ευθεία $\displaystyle{AB}$ διέρχεται από σταθερό σημείο. Ομοίως να προσδιοριστεί η θέση του $\displaystyle{l_2}$ κατά τέτοιο τρόπο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ , που βρίσκεται μεταξύ των παραλλήλων ευθειών, να έχει δοθέν μήκος $\displaystyle{\lambda}$ . Περιορισμός στο $\displaystyle{\lambda}$ .

Σημείωση: Όπως σχολιάζει ο Πάλλας στο σχετικό Δελτίο του, είχε παραλειφθεί από την εκφώνηση τότε η λέξη ''εξωτερικά του τριγώνου'', οπότε με την αρχική εκφώνηση το δοθέν θέμα ήταν λάθος. Με τα νέα τρίγωνα εσωτερικά του τριγώνου το ζητούμενο δεν ισχύει.

#2

parmenides51 έγραψε:1. Σε κάθε πλευρά τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ισόπλευρο τρίγωνο. Συνδέουμε την τρίτη κορυφή καθενός από τα νέα τρίγωνα με την απέναντι της κορυφή στο αρχικό τρίγωνο. Να δειχθεί οτι:
α) τα τρία παραπάνω ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα μεταξύ τους
β) οι τρεις παραπάνω ευθείες συντρέχουν

: Ευελπίδων 1967.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

(Πρόκειται για ένα μέρος του θεωρήματος του Steiner)

Έστω $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta ,{\rm A}\Gamma {\rm E},{\rm B}\Gamma {\rm Z}}$ , τα τρία ισόπλευρα τρίγωνα.

1) θα δείξω ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z} = {\rm B}{\rm E} = \Gamma \Delta }$ .
Τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}\Delta \Gamma ,{\rm A}{\rm B}{\rm E}}$ είναι ίσα γιατί έχουν:
$\displaystyle{{\rm A}\Delta = {\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma = {\rm A}{\rm E}}$ και $\displaystyle{\Delta \widehat {\rm A}\Gamma = {\rm B}\widehat {\rm A}{\rm E} = {60^0} + \widehat {\rm A}}$
Άρα $\displaystyle{{\rm B}{\rm E} = \Gamma \Delta }$ .
Ομοίως τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}{\rm Z},{\rm B}\Gamma \Delta }$ είναι ίσα, άρα $\displaystyle{\Gamma \Delta = {\rm A}{\rm Z}}$

2) Έστω ότι οι $\displaystyle{{\rm B}{\rm E},\Gamma \Delta }$ , τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{\Sigma }$ . Θα δείξω ότι τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},\Sigma ,{\rm Z}}$ είναι συνευθειακά.
Από την ισότητα των πρώτων τριγώνων έχουμε $\displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta \Sigma = {\rm A}\widehat {\rm B}\Sigma }$ , οπότε το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}\Sigma {\rm B}\Delta }$ είναι εγγράψιμο. Δηλαδή $\displaystyle{{\rm A}\widehat \Sigma {\rm B} = {120^0}}$ . Ομοίως και το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}\Sigma \Gamma {\rm E}}$ είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle{{\rm A}\widehat \Sigma \Gamma = {120^0}}$ .
Άρα θα είναι υποχρεωτικά και $\displaystyle{{\rm B}\widehat \Sigma \Gamma = {120^0}}$ . Επομένως και το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm B}\Sigma \Gamma {\rm Z}}$ είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle{{\rm B}\widehat \Sigma {\rm Z} = {\rm B}\widehat \Gamma {\rm Z} = {60^0}}$ .
Οπότε έχουμε $\displaystyle{{\rm A}\widehat \Sigma {\rm B} + {\rm B}\widehat \Sigma {\rm Z} = {120^0} + {60^0} = {180^0}}$ που σημαίνει ότι τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},\Sigma ,{\rm Z}}$ είναι συνευθειακά.

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1967 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση