ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Να δειχτεί ότι: $a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab\geq 0.$
ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να γίνει γινόμενο η παράσταση : a^4(b^2-c^2)+b^4(c^2-a^2)+c^4(a^2-b^2).

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να λυθεί το σύστημα :
$\: \: x^2+y^2-3=3xy \: \: (1)\:\: ,\:\: 2x^2-6+y^2=0 \: \: (2).$
ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να λυθεί η ανισότητα :
$\displaystyle -\frac{1}{11}\leq \frac{x}{2x^2-5x+9}\leq 1.$
ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Να βρεθεί το
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{n^4-2n^3+4n+6}{2n^4+7n^2-1}$
και να δειχτεί ότι είναι ίσο με $\: \frac{1}{2}$

Πηγή :
Φροντιστήρια Ηράκλειτος - Οδηγός Σπουδών 1977

BAGGP93 · #2

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Να δειχτεί ότι: $a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab\geq 0.$

ΛΥΣΗ

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}2\,\left(a^2+b^2+c^2-b\,c-a\,c-a\,b\right)&=2\,a^2+2\,b^2+2\,c^2-2\,a\,b-2\,a\,c-2\,b\,c\\&=\left(a^2-2\,a\,b+b^2\right)+\left(b^2-2\,b\,c+c^2\right)+\left(a^2-2\a,\,c+c^2\right)\\&=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\\&\geq 0\end{aligned}}$

Επομένως, $\displaystyle{a^2+b^2+c^2-b\,c-a\,c-a\,b\geq 0}$ με την ισότητα να ισχύει αν, και μόνο αν, $\displaystyle{a=b=c}$

BAGGP93 · #3

NIZ έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να λυθεί το σύστημα :
$\: \: x^2+y^2-3=3xy \: \: (1)\:\: ,\:\: 2x^2-6+y^2=0 \: \: (2).$

Έστω $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2}$ λύση του παραπάνω συστήματος .

Τότε, έχουμε $\displaystyle{x^2+y^2-3=3\,x\,y\,\, \kappa \alpha \iota\,\,2\,x^2-6+y^2=0}$ .

Η δεύτερη σχέση, με τη βοήθεια της πρώτης, γράφεται

$\displaystyle{2\,\left(x^2-3\right)+y^2=0\Leftrightarrow 2\,\left(3\,x\,y-y^2\right)+y^2=0\Leftrightarrow 6\,x\,y-y^2=0\Leftrightarrow y=0\,\,\lor\,\,y=6x}$ .

Αν $\displaystyle{y=0}$ , τότε από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε $\displaystyle{x^2-3=0\Leftrightarrow x\in\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}}$

Αν $\displaystyle{y=6\,x}$ , τότε η δεύτερη εξίσωση δίνει

$\displaystyle{2\,x^2-6+36\,x^2=0\Leftrightarrow x^2=\frac{3}{19}\Leftrightarrow x\in\left\{-\sqrt{\frac{3}{19}},\sqrt{\frac{3}{19}}\right\}}$ .

Τότε, $\displaystyle{y\in\left\{-6\,\sqrt{\frac{3}{19}},6\,\sqrt{\frac{3}{19}}\right\}}$

Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι τα πιο πάνω σημεία ικανοποιούν το σύστημα και άρα το σύνολο λύσεων αυτού είναι το

$\displaystyle{A=\left\{\left(-\sqrt{3},0\right),\left(\sqrt{3},0\right),\left(-\sqrt{\frac{3}{19}},-6\,\sqrt{\frac{3}{19}}\right),\left(\sqrt{\frac{3}{19}},6\,\sqrt{\frac{3}{19}}\right)\right\}}$

ArgirisM · #4

NIZ έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Να βρεθεί το
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{n^4-2n^3+4n+6}{2n^4+7n^2-1}$
και να δειχτεί ότι είναι ίσο με $\: \frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{n^4-2n^3+4n+6}{2n^4+7n^2-1} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^4}{2n^4} = \frac{1}{2}$
(Πω πω δύσκολο!)

BAGGP93 · #5

NIZ έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να λυθεί η ανισότητα :
$\displaystyle -\frac{1}{11}\leq \frac{x}{2x^2-5x+9}\leq 1.$

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} 2\,x^2-5\,x+9&=2\,\left[x^2-\frac{5\,x}{2}+\frac{9}{2}\right]\\&=2\,\left[\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{9}{2}-\frac{25}{16}\right]\\&=2\,\left[\left(x-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{47}{16}\right]\\&> 0\end{aligned}}$ .

Επομένως, η προς επίλυση ανίσωση ισοδυναμεί με την $\displaystyle{-\frac{1}{11}\left(2\,x^2-5\,x+9\right)\leq x\leq 2\,x^2-5\,x+9}$ .

Για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}-\frac{1}{11}\left(2\,x^2-5\,x+9\right)\leq x&\Leftrightarrow 2\,x^2-5\,x+9\geq -11\,x\\&\Leftrightarrow 2\,x^2+6\,x+9\geq 0\\&\Leftrightarrow x^2+3\,x+\frac{9}{2}\geq 0\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\geq 0\\&\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\end{aligned}}$

$\displaystyle{\begin{aligned} x\leq 2\,x^2-5\,x+9&\Leftrightarrow 2\,x^2-6\,x+9\geq 0\\&\Leftrightarrow x^2-3\,x+\frac{9}{2}\geq 0\\&\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}\geq 0\\&\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\end{aligned}}$ .

Τελικώς, κάθε πραγματικός αριθμός είναι λύση της δοσμένης ανίσωσης.

gauss1988 · #6

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να γίνει γινόμενο η παράσταση :

ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση