ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες του αριθμού $\displaystyle{-3-3i}$ .

2. α) Σε κύκλο εγγράφουμε ισόπλευρο τρίγωνο, στο οποίο εγγράφουμε κύκλο, στον οποίο εγγράφουμε ισόπλευρο τρίγωνο και ούτω καθεξής επ' άπειρον. Να βρεθεί το άθροισμα των περιμέτρων των ισόπλευρων τριγώνων.
β) Δίνεται γωνία $\displaystyle{\widehat{xOy}=\theta}$ και επί της $\displaystyle{Ox}$ σημείο $\displaystyle{A}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(OA)=\alpha}$ . Από το $\displaystyle{A}$ φέρνουμε κάθετη $\displaystyle{AB}$ στην $\displaystyle{Oy}$ , από το $\displaystyle{B}$ φέρνουμε κάθετη $\displaystyle{B\Gamma}$ στην $\displaystyle{OA}$ , από το $\displaystyle{\Gamma}$ φέρνουμε κάθετη $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ στην $\displaystyle{AB}$ , από το $\displaystyle{\Delta}$ φέρνουμε κάθετη $\displaystyle{\Delta E}$ στην $\displaystyle{B\Gamma}$ και ούτω καθεξής επ' άπειρον. Να βρεθεί το μήκος της ατελείωτης γραμμής $\displaystyle{AB\Gamma\Delta E ...}$

3. α) Εαν συμμετρικό ως προς $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{ y}$ πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma(x,y)}$ διαιρείται από το $\displaystyle{x-y}$ , τότε θα διαιρείται και από το $\displaystyle{(x-y)^2}$ .
β) Να βρεθεί, χωρίς να γίνει διαίρεση , το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου $\displaystyle{\Delta(x)}$ από το γινόμενο $\displaystyle{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}$

4. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2-2x+\lambda=0}$ με ρίζες $\displaystyle{x_1,x_2 }$ και έστω $\displaystyle{y_1,y_2}$ οι τιμές του $\displaystyle{y=x^2-\lambda x+\lambda^2 }$ για $\displaystyle{x=x_1}$ και $\displaystyle{x=x_2}$ αντίστοιχα. Ζητείται να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{Z=\left(\frac{y_1}{x_1^3}+\frac{y_2}{x_2^3}\right)+2\left(\frac{y_1}{x_1^2}+\frac{y_2}{x_2^2}\right)+4\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\lambda}$

Paolos · #2

4. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2-2x+\lambda=0}$ με ρίζες $\displaystyle{x_1,x_2 }$ και έστω $\displaystyle{y_1,y_2}$ οι τιμές του $\displaystyle{y=x^2-\lambda x+\lambda^2 }$ για $\displaystyle{x=x_1}$ και $\displaystyle{x=x_2}$ αντίστοιχα. Ζητείται να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{Z=\left(\frac{y_1}{x_1^3}+\frac{y_2}{x_2^3}\right)+2\left(\frac{y_1}{x_1^2}+\frac{y_2}{x_2^2}\right)+4\left(\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}\right)}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\lambda}$

Καταρχήν $\displaystyle{\lambda \ne 0}$ .
(διότι αν ήταν $\displaystyle{\lambda =0}$ τότε οι ρίζες θα είναι $\displaystyle{{{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=2.}$ Για να ορίζεται η παράσταση $\displaystyle{Z}$ χρειάζεται το $\displaystyle{{{x}_{1}}\ne 0}$ )

Από τους τύπους του Vieta έχουμε ότι $\displaystyle{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\,\,\,\,,\,\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\lambda .}$
Οπότε
$\displaystyle{{x_1}^2 + {x_2}^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 4 - 2\lambda }$

$\displaystyle{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=({{x}_{1}}+{{x}_{2}})({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}})=2(4-2\lambda -\lambda )=2(4-3\lambda )}$ .

1ο βήμα:

$\displaystyle{\frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}^{3}}+\frac{{{y}_{2}}}{{{x}_{2}}^{3}}=\frac{{{y}_{1}}{{x}_{2}}^{3}+{{y}_{2}}{{x}_{1}}^{3}}{{{x}_{1}}^{3}{{x}_{2}}^{3}}=\frac{\left( {{x}_{1}}^{2}-\lambda {{x}_{1}}+{{\lambda }^{2}} \right){{x}_{2}}^{3}+\left( {{x}_{2}}^{2}-\lambda {{x}_{2}}+{{\lambda }^{2}} \right){{x}_{1}}^{3}}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{3}}}=}$
$\displaystyle{\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{3}+{{x}_{2}}^{2}{{x}_{1}}^{3}-\lambda {{x}_{1}}{{x}_{2}}^{3}-\lambda {{x}_{2}}{{x}_{1}}^{3}+{{\lambda }^{2}}{{x}_{2}}^{3}+{{\lambda }^{2}}{{x}_{1}}^{3}}{{{\lambda }^{3}}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})-\lambda {{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})+{{\lambda }^{2}}({{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3})}{{{\lambda }^{3}}}=}$
$\displaystyle{\frac{2{{\lambda }^{2}}-{{\lambda }^{2}}(4-2\lambda )+2{{\lambda }^{2}}(4-3\lambda )}{{{\lambda }^{3}}}=\frac{6-4\lambda }{\lambda }.}$

2ο βήμα:

$\displaystyle{2\left( \frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}}{{{x}_{2}}^{2}} \right)=2\left( \frac{{{y}_{1}}{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}} \right)=2\left[ \frac{\left( {{x}_{1}}^{2}-\lambda {{x}_{1}}+{{\lambda }^{2}} \right){{x}_{2}}^{2}+\left( {{x}_{2}}^{2}-\lambda {{x}_{2}}+{{\lambda }^{2}} \right){{x}_{1}}^{2}}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}} \right]=}$

$\displaystyle{2\cdot \frac{2{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}-\lambda {{x}_{1}}{{x}_{2}}^{2}-\lambda {{x}_{2}}{{x}_{1}}^{2}+{{\lambda }^{2}}{{x}_{2}}^{2}+{{\lambda }^{2}}{{x}_{1}}^{2}}{{{\lambda }^{2}}}=2\cdot \frac{2{{\lambda }^{2}}-\lambda {{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{\lambda }^{2}}({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})}{{{\lambda }^{2}}}=}$
$\displaystyle{2\cdot \frac{2{{\lambda }^{2}}-2{{\lambda }^{2}}+{{\lambda }^{2}}(4-3\lambda )}{{{\lambda }^{2}}}=8-4\lambda .}$

3ο βήμα:

$\displaystyle{4\left( \frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}}+\frac{{{y}_{2}}}{{{x}_{2}}} \right)=4\left( \frac{{{y}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{2}}{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)=4\left[ \frac{\left( {{x}_{1}}^{2}-\lambda {{x}_{1}}+{{\lambda }^{2}} \right){{x}_{2}}+\left( {{x}_{2}}^{2}-\lambda {{x}_{2}}+{{\lambda }^{2}} \right){{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right]=}$
$\displaystyle{4\cdot \frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}^{2}-2\lambda {{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{\lambda }^{2}}({{x}_{2}}+{{x}_{1}})}{\lambda }=4\cdot \frac{2\lambda -2{{\lambda }^{2}}+2{{\lambda }^{2}}}{\lambda }=8.}$

Άρα
$\displaystyle{Z=\frac{6-4\lambda }{\lambda }+16-4\lambda$

Αρχιμήδης 6 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες του αριθμού $\displaystyle{-3-3i}$ .

Έστω $\displaystyle{(-3-3i)^{\frac{1}{3}}}=(a+bi)$ τότε
(a+bi)^3=-3-3i

$a^3+3a^2bi-3ab^2-b^{3}i=-3-3i$ (Σε αυτό το σημείο έγινε διόρθωση)
$(a^3-3ab^{2})+(3a^{2}b-b^3)i=-3-3i$ Οπότε
$a^3-3ab^{2}=-3$
$3a^{2}b-b^3=-3$
Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε δεκτή μόνο την λύση $(a,b)=({\frac{3}{2}}^{\frac{1}{3}},-{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{3}})$
Φιλικά,
Δημήτρης

kostas_zervos · #4

Αρχιμήδης 6 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες του αριθμού $\displaystyle{-3-3i}$ .
Έστω $\displaystyle{(-3-3i)^{\frac{1}{3}}}=(a+bi)$ τότε

$a^3+3a^2bi-3ab^2-b^{3}i=-3-3i$ (Σε αυτό το σημείο έγινε διόρθωση)
$(a^3-3ab^{2})+(3a^{2}b-b^3)i=-3-3i$ Οπότε
$a^3-3ab^{2}=-3$
$3a^{2}b-b^3=-3$
Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε δεκτή μόνο την λύση $(a,b)=({\frac{3}{2}}^{\frac{1}{3}},-{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{3}})$
Φιλικά,
Δημήτρης

Ο

έχει τρεις κυβικές ρίζες , λείπουν δύο... (και νομίζω ότι η μία που βρήκες δεν είναι σωστή....)

Νομίζω ότι η άσκηση λύνεται πιο εύκολα ως εξής:

Αν

κυβική ρίζα του -3-3i

, τότε:

$z^3=-3-3i=3\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)$

Άρα οι κυβικές ρίζες του είναι οι:

$z_k=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{2k\pi+\dfrac{5\pi}{4}}{3}+i\sin\dfrac{2k\pi+\dfrac{5\pi}{4}}{3}\right)\;,\;k=0,1,2$ .

Για k=0

, έχουμε $z_0=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{5\pi}{12}+i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)$ .

Αλλά $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}$ , άρα:

$\cos\dfrac{5\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$\sin\dfrac{5\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

Άρα $z_0=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Όμοια υπολογίζονται οι υπόλοιπες (τα ορίσματά τους διαφέρουν κατά $\dfrac{2\pi}{3}$ ).

Αρχιμήδης 6 · #5

kostas_zervos έγραψε:
Αρχιμήδης 6 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες του αριθμού $\displaystyle{-3-3i}$ .
Έστω $\displaystyle{(-3-3i)^{\frac{1}{3}}}=(a+bi)$ τότε

$a^3+3a^2bi-3ab^2-b^{3}i=-3-3i$ (Σε αυτό το σημείο έγινε διόρθωση)
$(a^3-3ab^{2})+(3a^{2}b-b^3)i=-3-3i$ Οπότε
$a^3-3ab^{2}=-3$
$3a^{2}b-b^3=-3$
Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε δεκτή μόνο την λύση $(a,b)=({\frac{3}{2}}^{\frac{1}{3}},-{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{3}})$
Φιλικά,
Δημήτρης
Ο έχει τρεις κυβικές ρίζες , λείπουν δύο... (και νομίζω ότι η μία που βρήκες δεν είναι σωστή....)

Νομίζω ότι η άσκηση λύνεται πιο εύκολα ως εξής:

Αν κυβική ρίζα του , τότε:

$z^3=-3-3i=3\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)$

Άρα οι κυβικές ρίζες του είναι οι:

$z_k=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{2k\pi+\dfrac{5\pi}{4}}{3}+i\sin\dfrac{2k\pi+\dfrac{5\pi}{4}}{3}\right)\;,\;k=0,1,2$ .

Για , έχουμε $z_0=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\left(\cos\dfrac{5\pi}{12}+i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)$ .

Αλλά $\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}$ , άρα:

$\cos\dfrac{5\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$\sin\dfrac{5\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

Άρα $z_0=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Όμοια υπολογίζονται οι υπόλοιπες (τα ορίσματά τους διαφέρουν κατά $\dfrac{2\pi}{3}$ ).

Ναι όντως βγαίνει πιο εύκολα με τον δικό σου τρόπο και φυσικά ξέχασα τις άλλες 2 λύσεις όμως λύνοντας το σύστημα
$a^3-3ab^{2}=-3$
$3a^{2}b-b^3=-3$ με αφαίρεση των 2 εξισώσεων θα πάρεις ...
(a+b)(a^2-4ab+b^2)=0

Για

προκύπτει η λύση που έδωσα και για την περίπτωση a^2-4ab+b^2=0

θα ισχύει

οπότε
$a=b(\sqrt{3}+2)$ η $a=b(\sqrt{3}-2})$ και αντικαθιστώντας στο σύστημα θα λάβεις και τις άλλες 2 λύσεις.
Υ.Γ (Ήθελα να παρουσιάσω αυτό τον τρόπο γιατί στα πιο πολλά βιβλία συνηθίζετε η δική σου μέθοδος .)
Φιλικά,
Δημήτρης

ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση