ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Από δοθέν σημείο $\displaystyle{O}$ να αχθεί ευθεία από την οποία οι αποστάσεις δοθέντων σημείων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ να έχουν λόγο $\displaystyle{\frac{\mu}{\nu}}$ , όπου $\displaystyle{\mu}$ και $\displaystyle{\nu}$ δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα.

2. Αν $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ είναι τα σημεία τομής των πλευρών (ή των προεκτάσεων αυτών) $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ αντίστοιχα κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ , με την ευθεία που ενώνει τα μέσα $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ των διαγωνίων $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Delta}$ αντίστοιχα, να δειχθεί οτι $\displaystyle{EA \cdot ZB= E\Delta \cdot Z\Gamma}$ .

3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M}$ του επιπέδου $\displaystyle{(\Pi)}$ των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα δυο δεδομένα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , τα οποία βρίσκονται εκτός του επιπέδου $\displaystyle{(\Pi)}$ είναι σταθερό και ίσο με $\displaystyle{K^2}$ , όπου $\displaystyle{K}$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.

#2

parmenides51 έγραψε:
2. Αν $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ είναι τα σημεία τομής των πλευρών (ή των προεκτάσεων αυτών) $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ αντίστοιχα κυρτού τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ , με την ευθεία που ενώνει τα μέσα $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ των διαγωνίων $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Delta}$ αντίστοιχα, να δειχθεί οτι $\displaystyle{EA \cdot ZB= E\Delta \cdot Z\Gamma}$ .

Από τις κορυφές $\displaystyle{\,\,{\rm A},\Gamma \,\,\,}$ , φέρουμε παράλληλες προς την $\displaystyle{\,\,\,{\rm E}{\rm Z}\,\,}$
Από τα τρίγωνα $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm H}\Gamma ,\,\,\Gamma {\rm A}{\rm P} \Rightarrow {\rm A}{\rm E} = {\rm E}{\rm H}\,\,,\,\,\Gamma {\rm Z} = {\rm Z}{\rm P}\,\,}$ , και με θ. Θαλή $\displaystyle{\,\,{\rm K}{\rm N} = \Lambda {\rm N}\,\,\,\,}$
Με θεώρημα Θαλή είναι $\displaystyle{\,\,\frac{{{\rm E}{\rm A}}}{{{\rm E}\Delta }} = \frac{{\Lambda {\rm N}}}{{{\rm N}\Delta }}\,\,\,,\,\,\,\frac{{{\rm Z}\Gamma }}{{{\rm Z}{\rm B}}} = \frac{{{\rm K}{\rm N}}}{{{\rm N}{\rm B}}}\,\,\,}$
Αφού $\displaystyle{\,\,\,{\rm K}{\rm N} = \Lambda {\rm N}\,\,\,,\Delta {\rm N} = {\rm N}{\rm B}\,\,\,}$ , έπεται το ζητούμενο

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση