ΕΜΠ 1949 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Δίνονται $\displaystyle{3\nu+2}$ σε πλήθος αριθμοί, όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός, τέτοιος ώστε $\displaystyle{\alpha_1=\alpha_2=1$ και $\displaystyle{\alpha_{\mu+1}= \alpha_{\mu}+ \alpha_{\mu-1}}$ όπου $\displaystyle{\mu=2,3,..., 3\nu +1}$ . Να δείξετε οτι
α) το άθροισμα των τετραγώνων των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων από αυτούς ισούται με $\displaystyle{\alpha_{\nu} \alpha_{\nu+1}}$
β) το άθροισμα $\displaystyle{S}$ των όρων, με δείκτες που αποτελούν αριθμητική πρόοδο με λόγο $\displaystyle{3}$ και πρώτο δείκτη τον $\displaystyle{3}$ , ισούται με $\displaystyle{\frac{1}{2}(\alpha_{3\nu+2} -1)}$

2. Να δείξετε οτι για τους πραγματικούς $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ από την σχέση $\displaystyle{2|\beta|\le \alpha\le \gamma}$ έπεται η σχέση $\displaystyle{\alpha \le \frac{2}{\sqrt3}\sqrt{\alpha\gamma-\beta^2}}$ , όπου το ριζικό εννοείται με το σημείο $\displaystyle{+}$ . Μετά να δείξετε οτι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}$ που πληρούν τις παραπάνω σχέσεις είναι μόνο οι $\displaystyle{\alpha=1,\beta=0,\gamma=1}$ εφόσον $\displaystyle{\alpha\gamma-\beta^2=1}$ και γενικώς οτι υπάρχουν πεπερασμένες τριάδες ακεραίων που πληρούν τις παραπάνω σχέσεις εφόσον το $\displaystyle{\alpha\gamma-\beta^2}$ δίνεται να έχει μια ορισμένη ακέραια θετική τιμή.

3. α) Θεωρούμε δυο θετικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\nu}$ , εκ των οποίων ο δεύτερος είναι ακέραιος και τους μεγαλύτερους αριθμούς $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{\mu}$ και μικρότερους ή ίσους αντιστοίχως του $\displaystyle{\alpha}$ και του πηλίκου $\displaystyle{\frac{\alpha}{\nu}}$ . Να δειχτεί οτι ο $\displaystyle{\mu}$ ισούται με τον μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μικρότερος ή ίσος του $\displaystyle{\frac{ \lambda}{\nu}}$ .
β) Πως πρέπει να ληφθεί ο $\displaystyle{\gamma}$ ώστε οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-2x+\alpha=0}$ με $\displaystyle{0<\alpha<1}$ να πληρούν την σχέση $\displaystyle{\gamma (3-x)(x+1)>0}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

parmenides51 έγραψε:1. Δίνονται $\displaystyle{3\nu+2}$ σε πλήθος αριθμοί, όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός, τέτοιος ώστε $\displaystyle{\alpha_1=\alpha_2=1$ και $\displaystyle{\alpha_{\mu+1}= \alpha_{\mu}+ \alpha_{\mu-1}}$ όπου $\displaystyle{\mu=2,3,..., 3\nu +1}$ . Να δείξετε οτι
α) το άθροισμα των τετραγώνων των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων από αυτούς ισούται με $\displaystyle{\alpha_{\nu} \alpha_{\nu+1}}$
β) το άθροισμα $\displaystyle{S}$ των όρων, με δείκτες που αποτελούν αριθμητική πρόοδο με λόγο $\displaystyle{3}$ και πρώτο δείκτη τον $\displaystyle{3}$ , ισούται με $\displaystyle{\frac{1}{2}(\alpha_{3\nu+2} -1)}$

α)Πρόκειται για κλασσικό θέμα πάνω στην ακολουθία Fibonacci.

$a_{\nu +1}=a_{\nu }+a_{\nu -1}\Rightarrow a_{\nu }a_{\nu +1}=a_{\nu }^{2}+a_{\nu }a_{\nu -1}$

$a_{\nu }=a_{\nu -1}+a_{\nu -2}\Rightarrow a_{\nu }a_{\nu -1}=a_{\nu -1}^{2}+a_{\nu -1}a_{\nu -2}$

$a_{\nu -1}=a_{\nu -2}+a_{\nu -3}\Rightarrow a_{\nu -1}a_{\nu -2}=a_{\nu -2}^{2}+a_{\nu -2}a_{\nu -3}$
............................................................................
............................................................................
............................................................................
$a_{5}=a_{4}+a_{3}\Rightarrow a_{5}a_{4}=a_{4}^{2}+a_{4}a_{3}$

$a_{4}=a_{3}+a_{2}\Rightarrow a_{4}a_{3}=a_{3}^{2}+a_{3}a_{2}$

$a_{3}=a_{2}+a_{1}\Rightarrow a_{3}a_{2}=a_{2}^{2}+a_{2}a_{1}$

Αν προσθέσω κατά μέλη τις $\nu -1$ στο πλήθος ισότητες προκύπτει

$a_{\nu }a_{\nu+1}=a_{\nu}^{2}+a_{\nu-1}^{2}+a_{\nu-2}^{2}+...+a_{5}^{2}+a_{4}^{2}+a_{3}^{2}+a_{2}^{2}+a_{2}a_{1}$

Όμως $a_{2}=a_{1}=1$ και έτσι η τελευταία ισότητα γράφεται

$a_{\nu }a_{\nu+1}=a_{\nu}^{2}+a_{\nu-1}^{2}+a_{\nu-2}^{2}+...+a_{5}^{2}+a_{4}^{2}+a_{3}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}^{2}$

Αυτή είναι η ισότητα που θέλαμε να αποδειχθεί.

β)Θα χρησιμοποιήσω το γνωστό τύπο που δίνει το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων της ακολουθίας Fibonacci.
Όπως γνωρίζουμε ισχύει

$\Sigma _{\nu }=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{\nu -3}+a_{\nu -2}+a_{\nu -1}+a_{\nu}=a_{\nu +2}-1.$

O τύπος αυτός μπορεί εύκολα να αποδειχθεί επαγωγικά.

$a_{3}=a_{1}+a_{2}$

$a_{6}=a_{4}+a_{5}$

$a_{9}=a_{7}+a_{8}$
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
$a_{3\nu -6}=a_{3\nu -8}+a_{3\nu -7}$

$a_{3\nu -3}=a_{3\nu -5}+a_{3\nu -4}$

$a_{3\nu }=a_{3\nu -2}+a_{3\nu -1}$

Έτσι

$a_{3}+a_{6}+a_{9}+...+a_{3\nu -6}+a_{3\nu -3}+a_{3\nu }=$
$=\left(a_{1} +a_{2}\right)+\left(a_{4}+a_{5}\right)+\left(a_{7}+a_{8} \right)+...+\left(a_{3\nu -8}+a_{3\nu -7} \right)+\left(a_{3\nu -5}+a_{3\nu -4} \right)+\left(a_{3\nu -2}+a_{3\nu -1} \right)$

και μπορεί να γραφεί ότι

$a_{3}+a_{6}+a_{9}+...+a_{3\nu -6}+a_{3\nu -3}+a_{3\nu }= \left(a_{1} +a_{2}\right)+a_{3}+\left(a_{4}+a_{5}\right)+a_{6}+\left(a_{7}+a_{8} \right)+a_{9}+...+\left(a_{3\nu -8}+a_{3\nu -7} \right)+a_{3\nu -6}+\left(a_{3\nu -5}+a_{3\nu -4} \right)+a_{3\nu -3}+\left(a_{3\nu -2}+a_{3\nu -1} \right)+a_{3\nu}-(a_{3}+a_{6} +a_{9}+...+a_{3\nu -6}+a_{3\nu -3}+a_{3\nu})$

δηλαδή ισχύει ότι
$S=\Sigma _{3\nu }-S\Leftrightarrow2 S=\Sigma _{3\nu }.$

Γνωρίζουμε ότι

$\Sigma _{3\nu }=a_{3\nu +2}-1.$

Έτσι

$2S=a_{3\nu +2}-1.$

και συνεπώς

$S=\displaystyle{\frac{1}{2}(\alpha_{3\nu+2} -1)}.$

Το θέμα αυτό είναι μια καλή γνωριμία με την ακολουθία Fibonacci.Ίσως κάποια παιδιά το εκτιμήσουν...
Ωραία πάντως τα παλιά θέματα με ακολουθίες...
Στην εποχή μας φαίνονται σαν τα τραγούδια που ακούμε όταν βλέπουμε παλιές ταινίες.
Περασμένα ναι , ξεχασμένα όχι...

orestisgotsis · #3

Περιττό

ΕΜΠ 1949 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1949 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1949 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1949 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση