ΙΚΑΡΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Από τυχαίο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της βάσης $\displaystyle{B\Gamma}$ υψώνουμε κάθετη στην $\displaystyle{B\Gamma}$ , η οποία τέμνει τις $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ στα $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ αντίστοιχα . Να δειχτεί οτι το άθροισμα $\displaystyle{\Delta E +\Delta Z}$ είναι σταθερό.

2. Να δειχτεί οτι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το γινόμενο των τμημάτων στα οποία το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου χωρίζει την υποτείνουσα.

3. Δίνεται κύκλος κέντρου $\displaystyle{O}$ , δυο χορδές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ και μια διάμετρος $\displaystyle{A\Delta}$ . Στο $\displaystyle{\Delta }$ φέρνουμε την εφαπτομένη, η οποία τέμνει τις $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ αντίστοιχα. Να δειχτεί οτι τα τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{AEZ}$ είναι όμοια.

4. Να φέρετε τομή κύβου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta A'B'\Gamma'\Delta' }$ , όπου $\displaystyle{AA'// BB'//\Gamma\Gamma ' //\Delta\Delta' }$ από επίπεδο τέτοιο ώστε η τομή του να είναι τετράγωνο και μη παράλληλο προς τις ακμές.

5. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραλληλογράμμων των εγγεγραμμένων σε δοθέν τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ .

Σημείωση: Το 5ο Θέμα αλλά σε στρεβλό τετράπλευρο έπεσε στις Εξετάσεις Γεωμετρίας των Ναυτικών Δοκίμων του ίδιου έτους (σχετικά).

edit
Προσθήκη σημείωσης

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχτεί οτι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το γινόμενο των τμημάτων στα οποία το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου χωρίζει την υποτείνουσα.

Έστω $\displaystyle{x,y,z}$ τα τμήματα που ορίζουν τα σημεία επαφής πάνω στις πλευρές και $\displaystyle{\tau}$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου. Tότε έχουμε :

$\displaystyle{2x+2y+2z=2\tau\Rightarrow x+y+z=\tau}$ . Από τις σχέσεις : $\displaystyle{x+z=c,x+y=b}$ έχουμε : $\displaystyle{y=\tau-c,z=\tau-b}$ .

Επομένως, $\displaystyle{yz=(\tau-c)(\tau-b)=\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)=\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}=}$

$\displaystyle{\frac{1}{4}[a+(b-c)][a-(b-c)]=\frac{1}{4}[a^2-(b-c)^2]\overset{\Pi .\Theta .}=\frac{1}{4}(b^2+c^2-b^2+2bc-c^2)=\frac{2bc}{4}=\frac{bc}{2}=E_{ABC}}$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται κύκλος κέντρου $\displaystyle{O}$ , δυο χορδές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ και μια διάμετρος $\displaystyle{A\Delta}$ . Στο $\displaystyle{\Delta }$ φέρνουμε την εφαπτομένη, η οποία τέμνει τις $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ αντίστοιχα. Να δειχτεί οτι τα τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{AEZ}$ είναι όμοια.

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm A}{\rm E}{\rm Z}$ έχουν κοινή τη γωνία ${\rm B}{\rm A}\Gamma$ και $\widehat {{\rm A}{\rm B}\Gamma } = \frac{{\tau o\xi {\rm A}\Gamma }}{2}$ (1):

1η περίπτωση: Αν οι χορδές ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ${\rm A}\Delta$ τότε από το ορθ. τρίγωνο ${\rm A}\Delta {\rm Z}$ είναι:

$\displaystyle\widehat {\rm Z} = 90^\circ - \widehat {\Delta {\rm A}{\rm Z}} = \frac{{\tau o\xi {\rm A}\Delta }}{2} - \frac{{\tau o\xi \Gamma \Delta }}{2} \Rightarrow \widehat {\rm Z} = \frac{{\tau o\xi {\rm A}\Gamma }}{2}$ (2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι $\widehat {{\rm A}{\rm B}\Gamma } = \widehat {\rm Z}$

: Ομοια 1.png (16.07 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

2η περίπτωση: Αν οι χορδές ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ βρίσκονται στο ίδιο ημικύκλιο τότε:

$\widehat {{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = 180^\circ - \widehat {{\rm A}{\rm Z}\Delta } = 180^\circ - 90^\circ + \widehat {\Delta {\rm A}{\rm Z}} \Rightarrow$

$\displaystyle\widehat {{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = 90^\circ + \widehat {\Delta {\rm A}{\rm Z}} = \frac{{\tau o\xi {\rm A}\Delta }}{2} + \frac{{\tau o\xi \Gamma \Delta }}{2} \Rightarrow \widehat {{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = \frac{{\tau o\xi {\rm A}\Gamma }}{2}$ (1)

KARKAR · #4

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχτεί οτι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το γινόμενο των τμημάτων ,
στα οποία το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου χωρίζει την υποτείνουσα.

: Εμβαδόν ορθογωνίου.png (14.73 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

#5

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Από τυχαίο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της βάσης $\displaystyle{B\Gamma}$ υψώνουμε κάθετη στην $\displaystyle{B\Gamma}$ , η οποία τέμνει τις $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{AB}$ στα $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ αντίστοιχα . Να δειχτεί οτι το άθροισμα $\displaystyle{\Delta E +\Delta Z}$ είναι σταθερό.

Το σχήμα για να μπορέσουν να λύσουν την άσκηση οι μαθητές μέλη του

: SXHMA b.png (3.41 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

ΙΚΑΡΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1969 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση