ΕΜΠ 1951 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. MHXAN. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. α) Διαιρούμε το ακέραιο πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma (x)}$ δια του ακεραίου πολυωνύμου $\displaystyle{\phi (x)\ne 0}$ βαθμού $\displaystyle{\mu}$ , έστω $\displaystyle{\pi(x)}$ το πηλίκο και $\displaystyle{\upsilon(x) }$ το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. Με αυτόν τον τρόπο, έχουμε την ταυτότητα $\displaystyle{\sigma (x)=\phi(x)\pi (x)+\upsilon(x) }$ όπου $\displaystyle{ \upsilon(x) =0}$ ή $\displaystyle{\upsilon(x) \ne 0 }$ με βαθμό $\displaystyle{\upsilon(x) }$ μικρότερου του $\displaystyle{\mu}$ . Να δείξετε οτι η παραπάνω διαίρεση γίνεται κατά μοναδικό τρόπο, οτι δηλαδή από κάθε ταυτότητα $\displaystyle{\sigma (x)=\phi(x)\pi_1(x)+\upsilon_1(x)}$ με $\displaystyle{\pi_1(x),\upsilon_1(x)}$ ακέραια πολυώνυμα και βαθμό $\displaystyle{\upsilon_1(x) <\mu }$ , εφόσον $\displaystyle{\upsilon_1(x) \ne 0}$ , να συνεπάγεται ότι $\displaystyle{\pi_1(x)=\pi(x)}$ και $\displaystyle{\upsilon_1(x) =\upsilon(x) }$
β) Να δείξετε οτι αν δυο (τουλάχιστον) από τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^3+\alpha x^2+\beta x =0}$ είναι αντίθετες, τότε ένας τουλάχιστον, είτε από τις πραγματικούς ή τις φανταστικούς συντελεστές, $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ μηδενίζεται κι αντίστροφα.

2. Δίνονται οι εξισώσεις $\begin{array}{l} x^2+\alpha x +\beta=0 \,\, \,\,\,\,\, {\color{red}(1)} \\ x^2-|\alpha| x -|\beta|=0 \,\,\,\, {\color{red}(2)} \\ |\beta|x^2-|\alpha| x +1=0 \,\, {\color{red}(3)} \end{array} \right.$ με συντελεστές πραγματικούς ή μιγαδικούς μη μηδενικούς. Η (2) έχει μόνο μια θετική ρίζα την $\displaystyle{\theta}$ . Να δειχθεί για κάθε ρίζα της (1) , ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{|\rho|\le \theta}$ . Αν η (3) έχει δυο θετικές ρίζες $\displaystyle{\theta_1 }$ και $\displaystyle{\theta_2}$ διαφορετικές μεταξύ τους, να δειχθεί οτι δεν υπάρχει ρίζα $\displaystyle{\rho}$ της (1) που να επαληθεύει την διπλή ανισότητα $\displaystyle{\frac{1}{\theta_1}<|\rho|< \frac{1}{\theta_2}}$ , εαν $\displaystyle{\theta_1 < \theta_2 }$

3. Να δειχτεί οτι ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\sqrt[3]{2}}$ δεν μπορεί να είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0}$ , εαν $\displaystyle{\alpha , \beta ,\gamma}$ είναι ρητοί, δηλαδή από την σχέση $\displaystyle{\alpha (\sqrt[3]{2})^2+\beta (\sqrt[3]{2})+\gamma=0}$ προκύπτει αναγκαστικά $\displaystyle{\alpha =\beta =\gamma}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Να δειχτεί οτι ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\sqrt[3]{2}}$ δεν μπορεί να είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0}$ , εαν $\displaystyle{\alpha , \beta ,\gamma}$ είναι ρητοί, δηλαδή από την σχέση $\displaystyle{\alpha (\sqrt[3]{2})^2+\beta (\sqrt[3]{2})+\gamma=0}$ προκύπτει αναγκαστικά $\displaystyle{\alpha =\beta =\gamma}$ .

Για ευκολία στο Latex θα χρησιμοποιήσω $\displaystyle{a,b,c}$ .

Πολλαπλασιάζουμε τη δοσμένη με $\displaystyle{b}$ και με $\displaystyle{\sqrt[3]{2}}$ και έχουμε :

$\displaystyle{ab\sqrt[3]{4}+b^2\sqrt[3]{2}+bc=0}$ και $\displaystyle{a\sqrt[3]{8}+b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}=0\overset{\cdot a}\Rightarrow 2a^2+ab\sqrt[3]{4}+ac\sqrt[3]{2}=0}$ .

Αφαιρούμε τις δύο τελευταίες κατά μέλη και έχουμε :

$\displaystyle{b^2\sqrt[3]{2}+bc-2a^2-ac\sqrt[3]{2}=0\Rightarrow (b^2-ac)\sqrt[3]{2}+(bc-2a^2)=0}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{b^2-ac\ne 0}$ τότε θα είχαμε $\displaystyle{\sqrt[3]{2}=\frac{2a^2-bc}{b^2-ac}\in \mathbb Q}$ (άτοπο)

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{b^2-ac= 0}$ τότε έχουμε $\displaystyle{bc-2a^2=0}$ , επομένως καταλήγουμε στο σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}b^2-ac=0 ~(1)\\bc-2a^2=0~(2) \end{cases}}$

Πολλαπλασιάζουμε την (2) με $\displaystyle{b~:~b^2c=2a^2b\overset{(1)}\Rightarrow ac^2=2a^2b\Rightarrow a(c^2-2ab)=0\Rightarrow a=0~\acute{\eta}~c^2=2ab}$

$\displaystyle{\bullet \bullet}$ Aν $\displaystyle{a=0}$ τότε από την (1) έχουμε $\displaystyle{b=0}$ και από την αρχική $\displaystyle{c=0}$

$\displaystyle{\bullet \bullet}$ Aν $\displaystyle{c^2=2ab\overset{\cdot c}\Rightarrow c^3=2abc\overset{(1)}\Rightarrow c^3=2b^3 }$

$\displaystyle{\bullet \bullet \bullet}$ Aν $\displaystyle{b\ne 0}$ , θα είχαμε $\displaystyle{\left(\frac{c}{b}\right)^3=2\Rightarrow \frac{c}{b}=\sqrt[3]{2}\notin \mathbb Q}$ (άτοπο)

$\displaystyle{\bullet \bullet\bullet}$ Aν $\displaystyle{b=0}$ τότε από την (1) έχουμε $\displaystyle{c=0}$ και από την αρχική $\displaystyle{a=0}$

Σημείωση : Θεώρησα δεδομένο ότι $\displaystyle{\sqrt[3]{2}\notin \mathbb Q}$

ΕΜΠ 1951 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. MHXAN. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1951 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1951 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. MHXAN. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση