ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Να δείξετε οτι η συνθήκη $\displaystyle{(\alpha^2+\beta^2)(\gamma^2+\delta^2)=0}$ είναι ικανή και αναγκαία για να ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\alpha \gamma-\beta\delta=0}$ και $\displaystyle{\alpha\delta+\beta\gamma=0}$ όταν τα $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ παίρνουν μόνο πραγματικές τιμές.

2. Να δείξετε οτι εαν για ζεύγη $\displaystyle{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_{\nu},y_{\nu})}$ πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι $\displaystyle{\nu-2}$ σχέσεις $\displaystyle{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=...=\frac{y_{\nu}-y_{\nu-1}}{x_{\nu}-x_{\nu-1}}}$ όπου οι παρονομαστές υποτίθεται διάφοροι του μηδενός, τότε θα είναι $\displaystyle{y_{\kappa}=\alpha x_{\kappa}+\beta}$ για $\displaystyle{\kappa=1,2,...,\nu}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ δυο κατάλληλοι αριθμοί μη εξαρτώμενοι από το $\displaystyle{\kappa}$ . Χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση ή με άλλο τρόπο να αποδείξετε οτι εαν για δυο τριάδες άνισων μεταξύ τους αριθμών $\displaystyle{(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)}$ και $\displaystyle{(\delta_1,\delta_2,\delta_3)}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{\gamma_2-\gamma_1}{\gamma_3-\gamma_1}=\frac{\delta_2-y_1}{\delta_3-\delta_1}}$ τότε θα είναι $\displaystyle{\frac{\gamma_2\delta_2-\gamma_1\delta_1}{\gamma_3\delta_3-\gamma_1\delta_1}\ne \frac{\gamma_2-\gamma_1}{\delta_2-\delta_1} }$ .

3. Να βρείτε τις εκφράσεις της παράστασης $\displaystyle{\sigma(x)=\left|x+\frac{5}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|+|x-2|}$ χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής $\displaystyle{x}$ . Βάσει των εκφράσεων αυτών ή με άλλο τρόπο να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\sigma(x)}$ , όταν το x διατρέχει το διάστημα $\displaystyle{-\infty}$ εως $\displaystyle{+\infty }$

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Να βρείτε τις εκφράσεις της παράστασης $\displaystyle{\sigma(x)=\left|x+\frac{5}{2}\right|+\left|x-\frac{1}{2}\right|+|x-2|}$ χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής $\displaystyle{x}$ . Βάσει των εκφράσεων αυτών ή με άλλο τρόπο να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\sigma(x)}$ , όταν το x διατρέχει το διάστημα $\displaystyle{-\infty}$ εως $\displaystyle{+\infty }$

Οι παραστάσεις στις απόλυτες τιμές μηδενίζονται για $\displaystyle{x=-\frac{5}{2},x=\frac{1}{2},x=2}$ αντίστοιχα. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

$\displaystyle{\bullet~x\leq -\frac{5}{2}}$ . Τότε $\displaystyle{\sigma(x)=-x-\frac{5}{2}-x+\frac{1}{2}-x+2=-3x}$

$\displaystyle{\bullet~-\frac{5}{2}<x\leq \frac{1}{2}}$ . Τότε $\displaystyle{\sigma(x)=x+\frac{5}{2}-x+\frac{1}{2}-x+2=-x+5}$

$\displaystyle{\bullet~\frac{1}{2}<x\leq 2}$ . Τότε $\displaystyle{\sigma(x)=x+\frac{5}{2}+x-\frac{1}{2}-x+2=x+4}$

$\displaystyle{\bullet~x>2}$ . Τότε $\displaystyle{\sigma(x)=x+\frac{5}{2}+x-\frac{1}{2}+x-2=3x}$ .

Eπομένως, $\displaystyle{\sigma(x)=\begin{cases}~~-3x, ~x\leq -\frac{5}{2} \\-x+5,~-\frac{5}{2}<x\leq\frac{1}{2} \\~x+4,~\frac{1}{2}<x\leq 2 \\ ~~~~~3x,~x>2 \end {cases}}$ .

Eύκολα προκύπτουν τα σύνολα τιμών της $\displaystyle{\sigma}$ σε κάθε διάστημα : $\displaystyle{\left[\frac{15}{2},+\infty\right),~\left[\frac{9}{2},\frac{15}{2}\right),~\left(\frac{9}{2},6\right],~(6,+\infty)}$

επομένως η ελάχιστη τιμή είναι το $\displaystyle{\frac{9}{2}}$ που προκύπτει για $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$

kostas_zervos · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να δείξετε οτι η συνθήκη $\displaystyle{(\alpha^2+\beta^2)(\gamma^2+\delta^2)=0}$ είναι ικανή και αναγκαία για να ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\alpha \gamma-\beta\delta=0}$ και $\displaystyle{\alpha\delta+\beta\gamma=0}$ όταν τα $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ παίρνουν μόνο πραγματικές τιμές.

Από την ταυτότητα $(\alpha^2+\beta^2)(\gamma^2+\delta^2)=(\alpha \gamma-\beta\delta)^2+(\alpha\delta+\beta\gamma)^2$ έχουμε άμεσα την απόδειξη.

Ας δούμε και μια άλλη προσέγγιση:

Έστω τα διανύσματα $\vec{v}=(\alpha,\beta)\;,\;\vec{u}=(\delta,\gamma)$ .

Τότε $(\alpha^2+\beta^2)(\gamma^2+\delta^2)=0\iff |\vec{v}|^2\cdot|\vec{u}|^2=0\iff \vec{v}=\vec{0}$ ή $\vec{u}=\vec{0}\iff$

$\iff \vec{v}\parallel \vec{u}$ και $\vec{v}\bot \vec{u}\iff det(\vec{v},\vec{u})=0$ και $\vec{v}\cdot \vec{u}=0\iff$

$\iff \alpha \gamma-\beta\delta=0$ και $\alpha\delta+\beta\gamma=0$ .

ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1952 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση