ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Έστω οτι οι συντελεστές του τριωνύμου $\displaystyle{f(x)=\alpha x^2+\beta x +\gamma}$ είναι ακέραιοι και οι αριθμοί $\displaystyle{f(0)}$ και $\displaystyle{ f(1)}$ περιττοί.
Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x +\gamma=0}$ δεν έχει ακέραια ρίζα.

2. α) Να δειχτεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{x^2(x+\alpha)^2+\gamma x+\delta =0}$ για $\displaystyle{x\ne 0}$ δεν μπορεί να έχει δυο ρίζες,
των οποίων το άθροισμα να ισούται με το άθροισμα των δυο άλλων ριζών της εξίσωσης. Τι σχετικό συμβαίνει για $\displaystyle{\gamma =0}$ ;

β) Με το σύμβολο $\displaystyle{\sqrt{A}}$ εννούμε παρακάτω για υπόρριζη ποσότητα διάφορη του μηδενός, την θετική τετραγωνική ρίζα
εφόσον αυτή έχει πραγματικές τιμές ή την έχουσα θετικό συντελεστή του $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ εφόσον η $\displaystyle{ \sqrt{A}}$ δεν εχει πραγματικές τιμές.
Να βρεθεί σύμφωνα με τα παραπάνω, τιμή του $\displaystyle{x}$ που να επαληθεύει την εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt{x+\frac{1}{2}}+\sqrt{x+\frac{5}{2}}=\sqrt{\frac{4x+3}{2}}}$
καθώς και ποιες τέτοιες τιμές υπάρχουν.

3. Ζητείται η επίλυση (εύρεση όλων των ριζών) της εξίσωσης $\displaystyle{\frac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3}+ \frac{x^2-4x+3}{x^2+4x+3}= \frac{x^2+6x+8}{x^2-6x+8}+ \frac{x^2-6x+8}{x^2+6x+8}}$ ,
αφού αναχθεί στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ως προς τον ίδιο άγνωστο.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω οτι οι συντελεστές του τριωνύμου $\displaystyle{f(x)=\alpha x^2+\beta x +\gamma}$ είναι ακέραιοι και οι αριθμοί $\displaystyle{f(0)}$ και $\displaystyle{ f(1)}$ περιττοί.
Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x +\gamma=0}$ δεν έχει ακέραια ρίζα.

εδώ και στις παραπομπές των παραπομπων

kostas_zervos · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Ζητείται η επίλυση (εύρεση όλων των ριζών) της εξίσωσης $\displaystyle{\frac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3}+ \frac{x^2-4x+3}{x^2+4x+3}= \frac{x^2+6x+8}{x^2-6x+8}+ \frac{x^2-6x+8}{x^2+6x+8}}$ ,
αφού αναχθεί στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ως προς τον ίδιο άγνωστο.

Πρέπει $(x^2+4x+3)(x^2-4x+3)(x^2+6x+8)(x^2-6x+8)\neq 0\iff$
$\iff x\notin\{-1,-3,1,3,-2,-4,2,4\}$ .

Έστω $\dfrac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3}=y$ και $\dfrac{x^2+6x+8}{x^2-6x+8}=z$ .

Τότε η εξίσωση γράφεται:

$y+\dfrac{1}{y}=z+\dfrac{1}{z}\iff zy^2+z=z^2y+y\iff zy^2-z^2y+z-y=0\iff$

$\iff (y-z)(zy-1)=0\iff z=y$ ή zy=1

.

Αν

, τότε $\dfrac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3}=\dfrac{x^2+6x+8}{x^2-6x+8}\iff$

$\iff (x^2+4x+3)(x^2-6x+8)= (x^2-4x+3)(x^2+6x+8)\iff\cdots\iff$

$\iff 28x-4x^3=0\iff x=0$ ή $x=\pm\sqrt{7}$ .

Αν zy=1

, τότε $\dfrac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3}\cdot\dfrac{x^2+6x+8}{x^2-6x+8}=1\iff$

$\iff (x^2+4x+3)(x^2+6x+8)= (x^2-4x+3)(x^2-6x+8)\iff\cdots\iff$

$\iff 20x^3+100x=0\iff x=0$ ή $x=\pm i\sqrt{5}$ .

ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση