ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Να δείξετε οτι το τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{\sigma (x)={\color{red}x^2+\alpha x+ \beta} }}$ δεν μπορεί να λαμβάνει πάντα τιμές απολύτως μικρότερες του $\displaystyle{2}$ για τιμές του $\displaystyle{x }$ από $\displaystyle{-2 }$ εως $\displaystyle{2}$ , συμπεριλαμβάνοντας και των ακραίων τιμών $\displaystyle{-2}$ και $\displaystyle{2}$ για το $\displaystyle{x}$ , οτι δηλαδή δεν είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{-2< \sigma (x)<2}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ για το οποίο είναι $\displaystyle{-2\le x\le 2}$ .

2. Να δείξετε οτι οι όροι της ακολουθίας $\displaystyle{\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2, ...}$ όπου $\displaystyle{\alpha_0=0, \alpha_1=1}$ και για $\displaystyle{\nu \ge 2}$ είναι $\displaystyle{\alpha_{\nu}=\alpha_{\nu-1}+\alpha_{\nu-2}}$ μπορούν να ληφθούν ως διαφορές ομοταξίων όρων δυο γεμετρικών προόδων, των οποίων να υπολογίσετε τους λόγους και τους πρώτους όρους. Βάσει της ανάλυσης αυτής των όρων της αρχικής προόδου, να δείξετε οτι για $\displaystyle{\mu \ge 0}$ τα γινόμενα $\displaystyle{\alpha_{\mu}\alpha_{\mu+3},2\alpha_{\mu+1}\alpha_{\mu+2}}$ και ο όρος $\displaystyle{\alpha_{2\mu+3}}$ αποτελούν τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου, οτι δηλαδή ισχύει η σχέση $\displaystyle{ (\alpha_{\mu}\alpha_{\mu+3})^2+(2\alpha_{\mu+1}\alpha_{\mu+2} )^2=(\alpha_{2\mu+3} )^2}$ . Για αυτό, να αποδείξετε ξεχωριστά τις σχέσεις $\displaystyle{\alpha_{2\mu+3} + \alpha_{\mu}\alpha_{\mu+3}=2\alpha^2_{\mu+2}}$ και $\displaystyle{\alpha_{2\mu+3} -\alpha_{\mu}\alpha_{\mu+3}=2\alpha^2_{\mu+1}}$ .

3. Δίνεται η τριτοβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{x^3 +\alpha x^2+\beta x+\gamma=0 }$ . Να δείξετε οτι ικανή κι αναγκαία συνθήκη ώστε να είναι το πραγματικό μέλος των τριων (πραγματικών ή μιγαδικών) ριζών της εξίσωσης αυτής αρνητικό είναι $\displaystyle{\alpha>0 , \beta>0, \gamma >0}$ και $\displaystyle{\alpha\beta>\gamma}$ . Για αυτό, να στηριχτείτε στην αντίστοιχη ικανή και αναγκαία συνθήκη για την δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{x^2+\delta x+\varepsilon =0}$ για την οποία είναι $\displaystyle{\delta >0, \varepsilon>0}$ αφού πρώτα αποδείξετε την τελευταία συνθήκη.

edit
Διορθώθηκε το τριώνυμο στο 1ο, θενξ Μάκη

Μάκης Χατζόπουλος · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να δείξετε οτι το τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{\sigma (x)=\alpha x^2+\beta x+ \gamma}$ δεν μπορεί να λαμβάνει πάντα τιμές απολύτως μικρότερες του $\displaystyle{2}$ για τιμές του $\displaystyle{x }$ από $\displaystyle{-2 }$ εως $\displaystyle{2}$ , συμπεριλαμβάνοντας και των ακραίων τιμών $\displaystyle{-2}$ και $\displaystyle{2}$ για το $\displaystyle{x}$ , οτι δηλαδή δεν είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{-2< \sigma (x)<2}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ για το οποίο είναι $\displaystyle{-2\le x\le 2}$ .

Η άσκηση είναι λάθος, δεν μπορεί να ισχύει... Ξανά δες το Parm!

parmenides51 · #3

λάθος αντέγραψα το τριώνυμο

διορθώθηκε

θενξ

Μάκης Χατζόπουλος · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να δείξετε οτι το τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{\sigma (x)={\color{red}x^2+\alpha x+ \beta} }}$ δεν μπορεί να λαμβάνει πάντα τιμές απολύτως μικρότερες του $\displaystyle{2}$ για τιμές του $\displaystyle{x }$ από $\displaystyle{-2 }$ εως $\displaystyle{2}$ , συμπεριλαμβάνοντας και των ακραίων τιμών $\displaystyle{-2}$ και $\displaystyle{2}$ για το $\displaystyle{x}$ , οτι δηλαδή δεν είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{-2< \sigma (x)<2}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ για το οποίο είναι $\displaystyle{-2\le x\le 2}$ .

Έστω ότι ισχύει $-2<\sigma (x) <2$ για κάθε $-2\le x\le 2$ , τότε

$\bullet$ Για x=0

παίρνουμε $-2<\beta < 2$ (1)

$\bullet$ Για x=2

παίρνουμε $-2<4 + 2\alpha + \beta < 2 \Leftrightarrow -6<2 \alpha + \beta<-2$ (2)

$\bullet$ Για x=-2

παίρνουμε $-2<4 - 2 \alpha + \beta < 2 \Leftrightarrow -6<-2\alpha + \beta<-2$ (3)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (2),(3) και παίρνουμε $-12<2 \beta<-4 \Leftrightarrow -6<\beta<-2$ (4)

Από τις σχέσεις (1) και (4) καταλήγουμε σε άτοπο αφού το $\beta$ είναι πραγματικός αριθμός.

ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1955 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση