ΕΜΠ 1957 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Εξετάσεις Αλλοδαπών για τις σχολές ΑΡΧ(ΙΤΕΚΤΟΝΕΣ) , ΜΕΤΑΛΛ(ΕΙΟΛΟΓΟΙ) , ΜΗΧΑΝ(ΟΛΟΓΟΙ), ΠΟΛ(ΙΤΙΚΟΙ), ΤΟΠ(ΟΓΡΑΦΟΙ) , ΧΗΜ(ΙΚΟΙ) ΜΗΧ(ΑΝΙΚΟΙ)

1. Εαν $\displaystyle{S_1,S_2,S_3}$ είναι τα αθροίσματα των $\displaystyle{\nu, 2\nu, 3\nu}$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου, να δειχθεί ότι $\displaystyle{S_3=3(S_2-S_1)}$ .

2. Να εκτελεθεί ο πολλαπλασιασμός $\displaystyle{(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)(x^8+x^4+1)\cdot ...\cdot (x^\displaystyle 2^{\nu}}-x^\displaystyle 2^{\nu-1}}+1)}$

3. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=133 \\ x+\sqrt{yx}+y=19 \end{array} \right.$

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 1. Εαν $\displaystyle{S_1,S_2,S_3}$ είναι τα αθροίσματα των $\displaystyle{\nu, 2\nu, 3\nu}$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου, να δειχθεί ότι $\displaystyle{S_3=3(S_2-S_1)}$ .

Έχουμε : $\displaystyle{S_1=\frac{\nu}{2}[2a_1+(\nu-1)\omega]=\nu a_1+\frac{\nu(\nu-1)}{2}\omega,~S_2=\frac{2\nu}{2}[2a_1+(2\nu-1)\omega]=2\nu a_1+\frac{2\nu(2\nu-1)}{2}\omega}$

και $\displaystyle{S_3=\frac{3\nu}{2}[2a_1+(3\nu-1)\omega]=3\nu a_1+\frac{3\nu(3\nu-1)}{2}\omega}$ . Έχουμε :

$\displaystyle{S_2-S_1=\nu a_1+\frac{2\nu(2\nu-1)-\nu(\nu-1)}{2}\omega=\nu a_1+\frac{4\nu^2-2\nu-\nu^2+\nu}{2}\omega=\nu a_1+\frac{3\nu^2-\nu}{2}\omega=\nu a_1+\frac{\nu(3\nu-1)}{2}\omega}$

επομένως $\displaystyle{3(S_2-S_1)=3\nu a_1+\frac{3\nu(3\nu-1)}{2}\omega=S_3}$

styt_geia · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{lr} x^2+xy+y^2=133 & (1) \\ x+\sqrt{yx}+y=19 & (2) \end{array} \right.$

Έστω

μία λύση του συστήματος με $xy \geq 0$ . Από την σχέση (2) έχουμε $\sqrt{yx}=19-x-y$ απ' όπου αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:

$x^2+19^2+x^2+y^2-38x-38y+2xy+y^2=133 \Rightarrow \\ 2\left(x^2+y^2+xy\right)+228-38x-38y=0 \stackrel{(1)}{\Rightarrow} 38x+38y=494 \Rightarrow x+y=13 \,\,(3)$

Άρα από (2):

$\sqrt{xy}=6 \Rightarrow xy=36 \stackrel{(3)}{\Rightarrow} x(13-x)=36 \Rightarrow x^2-13x+36=0 \Rightarrow x_1=4\,\, x_2=9$

και από (3) βρίσκουμε $y_1=9\,\,y_2=4$ . Τα ζεύγη (4,9),(9,4)

επαληθεύουν το αρχικό σύστημα.

Paolos · #4

Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=133 \\ x+\sqrt{yx}+y=19 \end{array} \right.$

Έχουμε ότι ισχύει:
$x^2+xy+y^2=133\,\,\,(1)\,\,\,$
$x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y=19\,\,\,(2)\,\,\,$
Καταρχήν θα πρέπει $\displaystyle{x\ge 0\,\,}$ και $\displaystyle{y\ge 0}$ .
Ακριβέστερα, θα πρέπει $\displaystyle{x>0\,\,\,\,}$ και $\displaystyle{y>0}$ , λόγω της σχέσης ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=133$ .
Ισχύουν οι ταυτότητες:
${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=(x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}})=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}})$
και ${{\sqrt{x}}^{3}}-{{\sqrt{y}}^{3}}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})({{\sqrt{x}}^{2}}+\sqrt{x}\sqrt{y}+{{\sqrt{y}}^{2}})$ ,
δηλαδή ${{\sqrt{x}}^{3}}-{{\sqrt{y}}^{3}}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y)$
και λόγω των σχέσεων $(1),(2)\Rightarrow$ ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=133(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ και ${{\sqrt{x}}^{3}}-{{\sqrt{y}}^{3}}=19(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ .
Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις αυτές, παίρνουμε:
$\displaystyle{\frac{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{\sqrt{x}}^{3}}-{{\sqrt{y}}^{3}}}=\frac{133(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{19(\sqrt{x}-\sqrt{y})}\Rightarrow \frac{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{\sqrt{x}}^{3}}-{{\sqrt{y}}^{3}}}=7(\sqrt{x}+\sqrt{y})\Rightarrow }$
$\displaystyle{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=7(\sqrt{x}+\sqrt{y})({{\sqrt{x}}^{3}}-{{\sqrt{y}}^{3}}).\,\,\,\,(3)}$
(προυπόθεση βέβαια για να κάνουμε τη διαίρεση είναι να ισχύει $\color{blue} x\ne y$ ,το οποίο όπως θα δούμε παρακάτω ισχύει).
Θέτουμε $a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}$ , a,b>0

.
Τότε, $x={{a}^{2}}\,,\,y={{b}^{2}}$ . Άρα η σχέση (3)

γίνεται:
${{a}^{6}}-{{b}^{6}}=7(a+b)({{a}^{3}}-{{b}^{3}})\Rightarrow ({{a}^{3}}-{{b}^{3}})({{a}^{3}}+{{b}^{3}})=7(a+b)({{a}^{3}}-{{b}^{3}})\overset{a\ne b}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{a}^{3}}+{{b}^{3}}=7(a+b)$
$\Rightarrow (a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})=7(a+b)\overset{a+b>0}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}=7\,\,\,(4)\,\,.$
Από τη σχέση (2)

προκύπτει ότι ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}=19$ .
Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες παίρνουμε: $2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})=26\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13\Rightarrow x+y=13.$
Από την $(4)\Rightarrow$ $x-\sqrt{x}\sqrt{y}+y=7\Rightarrow 13-\sqrt{xy}=7\Rightarrow \sqrt{xy}=6\Rightarrow xy=36$ .
Άρα x+y=13

και

.
Οπότε οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι ρίζες του τριωνύμου
${{m}^{2}}-13m+36=0$ .
Διακρίνουσα $\Delta =169-144=25$ και ρίζες το

και το

.
Άρα ${\color{magenta}\fbox{x=9}}\,\,,\,\,{\color{magenta}\fbox{y=4}}$ (ή αντίστροφα οι τιμές).
Σχόλιο:
Είναι $\color{blue} x\ne y$ , διότι διαφορετικά από τις $\color{blue} (1),(2)\Rightarrow 3{{x}^{2}}=113$ και $\color{blue} 3x=19$ , που είναι άτοπο.

ΕΜΠ 1957 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1957 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1957 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1957 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1957 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Μέλη σε σύνδεση