ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

[parmenides51]

1. Να λυθεί το σύστημα


2. Να προσδιοριστούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί από την εξίσωση και τις ανισότητες . Ποιο πρόβλημα τις πρακτικής αριθμητικής αποδίδει η παραπάνω αλγεβρική διατύπωση;


3. Αεροναύτης ανερχόμενος κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα αφήνει από το ύψος να πέσει ελεύθερα μια βόμβα,της οποίας τον ήχο της έκρηξης ακούει μετά από χρόνο . Σε ποιο ύψος βρισκόταν ο αεροναύτης όταν εξερράγη η βόμβα; Η αντίσταση του αέρα δεν θα ληφθεί υπόψη. Η επιτάχυνση του αέρα έστω και η ταχύτητα του ήχου στον αέρα .


4. Οδός πρόκειται να περάσει πάνω από κάποια περιοχή με γέφυρα. Η γέφυρα θα αποτελείται απο σειρά βάθρων κατά ίσες αποστάσεις, πάνω στα οποία θα οικοδομηθούν οι φέρουσες δοκοί, τα αποκαλούμενα ζεύγματα, πάνω στα οποία πάλι θα οικοδομηθεί η κύρια οδός, το αλλιώς αποκαλούμενο κατάστρωμα. Η απόσταση των βάθρων μπορεί να επιλεγεί μικρότερη ή μεγαλύτερη. Όσο μεγαλύτερη επιλέγεται αυτή, τόσο μειώνεται ο αριθμός των βάθρων, αλλά αυξάνεται η δαπάνη κατασκευής ζευγμάτων. Μπορεί να τεθεί οτι η δαπάνη κατασκευής κάθε ζεύγματος είναι ανάλογη του τετραγώνου του μήκους του, δηλαδή της αποστάσεως των βάθρων πάνω στα οποία οικοδομείται. Επίσης η δαπάνη κάθε βάθρου υποθέτοντας οτι η γέφυρα θα περάσει σε ορισμένο ύψος πάνω από το έδαφος, μπορεί να ληφθεί ως σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη της απόστασης πάνω στην οποία θα τοποθετηθούν τα βάθρα. Τέλος η δαπάνη του καταστρώματος δεν επηρεάζεται από την επιλογή της απόστασης των βάθρων. Να δειχθεί οτι υπάρχει μια ορισμένη απόσταση των βάθρων για την οποία η συνολική δαπάνη κατασκευής της γέφυρας γίνεται ελάχιστη. Να δειχτεί επίσης οτι η οικονομικότερη αυτή απόσταση είναι εκείνη για την οποία η δαπάνη για τα βάθρα είναι ίση με την δαπάνη για τα ζεύγματα. (Ο αριθμός των βάθρων να ληφθεί ίσος με τον αριθμό των ζευγμάτων και όχι κατά μεγαλύτερος). Υποθέτοντας οτι η δαπάνη κατασκευής του βάθρου είναι ανάλογη του ύψους του, να βρεθεί πως μεταβάλλεται η παραπάνω οικονομικότερη απόσταση των βάθρων, όταν μεταβληθεί το ύψος πάνω από το έδαφος στο οποίο θα περάσει η γέφυρα.




Σχόλιο: Το 1ο θέμα,δηλαδή το σύστημα έπεσε αυτούσιο και στα θέματα Άλγεβρας των Τοπογράφων - Αγρονόμων του ίδιου έτους (σχετικά)

[Γιώργος Απόκης]

1. Να λυθεί το σύστημα

Προφανώς άρα αντιστρέφοντας έχουμε :



Θέτουμε : και έχουμε το σύστημα .

Αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες και έχουμε : η οποία, σε συνδυασμό με την 1η δίνει :

και με αντικατάσταση : . Επομένως, έχουμε :



Edit (9:43) Τώρα είδα το σχόλιο για το 1ο θέμα. Αφήνω τη λύση αφού είναι διαφορετική από αυτή στην παραπομπή

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[parmenides51]

Ας κάνω μια απόπειρα για το πρόβλημα

2. Να προσδιοριστούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί από την εξίσωση και τις ανισότητες . Ποιο πρόβλημα τις πρακτικής αριθμητικής αποδίδει η παραπάνω αλγεβρική διατύπωση;

Σε μια χώρα με νόμισμα το ας πούμε, κυκλοφορούν χαρτονομίσματα μόνο των και μονάδων του καθώς και κέρματα μόνο του ενός και τεσσάρων . Να μοιράσετε το ποσό στα παραπάνω νομίσματα και χαρτονομίσματα ώστε να έχουμε το μικρότερο δυνατό σύνολο νομισμάτων και χαρτονομισμάτων.

Ας ελέγξει κάποιος εαν το παραπάνω είναι σωστό.