ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1966 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. α) Ισχύει ή οχι το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος; Να δικαιολογηθεί η απάντηση .
β) Οι τριάδες $\displaystyle{3,4,5 \,\,\, - \,\,\, 4,5,6 \,\,\, - \,\,\, 4,5,7}$ μπορεί να αντιπροσωπεύουν σε μονάδες μήκους πλευρές τριγώνου; Γιατί;
γ) Εαν ναι, ποιου είδους τρίγωνα , όσον αφορά τις γωνίες τους είναι αυτά τα τρίγωνα και γιατί;

2. Δίνεται κύκλος κέντρου $\displaystyle{O}$ και ακτίνας $\displaystyle{R}$ . Οι ακτίνες του κύκλου $\displaystyle{OA}$ και $\displaystyle{OB}$ σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{60^o}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρνουμε την κάθετη $\displaystyle{A\Gamma}$ προς την εφαπτομένη του κύκλου στο $\displaystyle{B}$ . Ζητείται να βρεθεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου χωρίου που ορίζεται από το τόξο της τομής των $\displaystyle{60^o}$ και τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ .

3. Δίνεται κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ και χορδή του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ παράλληλη και ομόρροπη προς το $\displaystyle{AB}$ . Πάνω στην χορδή $\displaystyle{A\Delta}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{AM}$ ίσο προς το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{A\Gamma}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M}$ , όταν η χορδή $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ κινείται παράλληλα προς την διάμετρο $\displaystyle{AB}$ .

Paolos · #2

2. Δίνεται κύκλος κέντρου $\displaystyle{O}$ και ακτίνας $\displaystyle{R}$ . Οι ακτίνες του κύκλου $\displaystyle{OA}$ και $\displaystyle{OB}$ σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{60^o}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρνουμε την κάθετη $\displaystyle{A\Gamma}$ προς την εφαπτομένη του κύκλου στο $\displaystyle{B}$ . Ζητείται να βρεθεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου χωρίου που ορίζεται από το τόξο της τομής των $\displaystyle{60^o}$ και τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{A\Gamma}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ .

ΛΥΣΗ

Αναζητούμε το εμβαδό ε του πορτοκαλί χωρίου.
Το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm O}{\rm A}{\rm B}}$ είναι ισόπλευρο, άρα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = R}$ και $\displaystyle{\left( {OAB} \right) = \frac{{{R^2} \cdot \sqrt 3 }}{4}}$ .
Επίσης $\displaystyle{\widehat {AB\Gamma } = {30^o}}$ , ως γωνία χορδής $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και εφαπτομένης $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .
Άρα $\displaystyle{{\rm A}\Gamma = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{R}{2}}$ και κάνοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο $\displaystyle{\mathop {{\rm A}{\rm B}\Gamma }\limits^\Delta \Rightarrow {\rm B}\Gamma = \frac{{\sqrt 3 R}}{2}}$ .
Άρα $\displaystyle{\varepsilon = (AB\Gamma ) - \tau =\frac{{\frac{R}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 \cdot R}}{2}}}{2} - \left[ {\frac{{\pi \cdot {R^2} \cdot {{60}^o}}}{{{{360}^o}}} - \frac{{{R^2} \cdot \sqrt 3 }}{4}} \right] = }$
$\displaystyle{\frac{{\frac{R}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 \cdot R}}{2}}}{2} - \left[ {\frac{{\pi \cdot {R^2} \cdot {{60}^o}}}{{{{360}^o}}} - \frac{{{R^2} \cdot \sqrt 3 }}{4}} \right] = \frac{{\sqrt 3 \cdot {R^2}}}{8} - \left[ {\frac{{\pi \cdot {R^2}}}{6} - \frac{{{R^2} \cdot \sqrt 3 }}{4}} \right] = \frac{{{R^2}}}{{24}}\left( {9\sqrt 3 - 4\pi } \right)}$ .

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1966 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1966 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1966 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση