ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ έχουμε ένα σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ κινούμενο πάνω στην $\displaystyle{B\Gamma}$ . Φέρνουμε παράλληλη από το $\displaystyle{\Sigma}$ προς την διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{Z}$ και την $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της $\displaystyle{Z\Delta}$ .

2. Πάνω στην πλευρά $\displaystyle{Oy}$ μιας γωνίας $\displaystyle{\widehat{xOy}=45^o}$ παίρνουμε τρια σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{AB=B\Gamma}$ . Από τα $\displaystyle{A ,\Gamma}$ φέρνουμε κάθετες πάνω στην $\displaystyle{Ox}$ τις $\displaystyle{AE ,\Gamma \Theta}$ και από το $\displaystyle{ B}$ φέρνουμε κάθετη προς την $\displaystyle{Oy}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{Ox}$ σε σημείο $\displaystyle{Z}$ . Να δειχθεί οτι το τρίγωνο $\displaystyle{AZ\Gamma}$ είναι ισοδύναμο προς το τραπέζιο $\displaystyle{AE\Theta\Gamma}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:2. Πάνω στην πλευρά $\displaystyle{Oy}$ μιας γωνίας $\displaystyle{\widehat{xOy}=45^o}$ παίρνουμε τρια σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{AB=B\Gamma}$ . Από τα $\displaystyle{A ,\Gamma}$ φέρνουμε κάθετες πάνω στην $\displaystyle{Ox}$ τις $\displaystyle{AE ,\Gamma \Theta}$ και από το $\displaystyle{ B}$ φέρνουμε κάθετη προς την $\displaystyle{Oy}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{Ox}$ σε σημείο $\displaystyle{Z}$ . Να δειχθεί οτι το τρίγωνο $\displaystyle{AZ\Gamma}$ είναι ισοδύναμο προς το τραπέζιο $\displaystyle{AE\Theta\Gamma}$ .

Έστω $\displaystyle{AB=B\Gamma=a,OA=b}$ . Το τρίγωνο $\displaystyle{OBZ}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα έχουμε : $\displaystyle{BZ=OB=a+b}$ .

Από το Πυθαγόρειο στα $\displaystyle{AOE,O\Theta \Gamma}$ έχουμε : $\displaystyle{AE=OE=\frac{b\sqrt{2}}{2},\Theta \Gamma=O\Theta=\frac{(2a+b)\sqrt{2}}{2}}$ επομένως

$\displaystyle{E\Theta=O\Theta-OE=\frac{(2a+b)\sqrt{2}}{2}-\frac{b\sqrt{2}}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}}$ . Για τα εμβαδά :

$\displaystyle{E_{AZ\Gamma}=\frac{1}{2}A\Gamma\cdot BZ=\frac{1}{2}\cdot 2a(a+b)=a(a+b)}$ και

$\displaystyle{E_{AE\Theta\Gamma}=\frac{1}{2}(\Theta\Gamma+AE)E\Theta=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{(2a+b)\sqrt{2}}{2}+\frac{b\sqrt{2}}{2}\right]\cdot a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{(2a+2b)\sqrt{2}}{2}=a(a+b)}$

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση